LUYỆN TẬP
NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a, (5x – 2y)(x2 – xy + 1)
b, (x – 1)(x + 1)(x + 2)
c, 12 x2y2 (2x + y)(2x – y)
Lời giải:
a, (5x – 2y)(x2 – xy + 1)
= 5×3 – 5x2y + 5x – 2x2y + 2xy2 – 2y
= 5×3 – 7x2y + 5x + 2xy2 – 2y
b, (x – 1)(x + 1)(x + 2)
= (x2 + x – x – 1)(x + 2)
= (x2 – 1)(x + 2)
= x3 + 2×2 – x – 2
c, 12 x2y2 (2x + y)(2x – y)
= 12 x2y2 (4×2 – 2xy + 2xy – y3)
= 12 x2y2 (4×2 – y2)
= 2x4y2 – 12 x2y4
Bài 2: Thực hiện phép tính
a, (1/2 x – 1) (2x – 3)
b, (x – 7)(x – 5)
c, (x – 1/2 )(x + 1/2 )(4x – 1)
Lời giải:
a, (1/2 x – 1) (2x – 3)
= x2 – 3/2 x – 2x + 3
= x2 – 7/2 x + 3
b, (x -7)(x -5)
= x2 – 5x – 7x + 3/5
= x2 – 12x + 3/5
c, (x – 1/2 )(x + 1/2 )(4x – 1)
= (x2 + 1/2 x – 1/2 x – 1/4 )(4x – 1)
= (x2 – 1/4 )(4x – 1)
= 4×3 – x2 – x + 1/4
Bài 3: Chứng minh:
a, (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1
b, (x3 + x2y + xy2 + y3)(x – y) = x4 – y4
Lời giải:
a, Ta có: (x – 1)(x2 + x +1)
= x3 + x2 + x – x2 – x – 1
= x3 – 1
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b, Ta có: (x3 + x2y + xy2 + y3)(x – y)
= x4 + x3y + x2y2 + xy3 – x3y – x2y2 – xy3 – y4
= x4 – y4
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Bài 4: Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 3 dư 1; b chia cho 3 dư 2. Chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2.
Lời giải:
Ta có: a chia cho 3 dư 1 ⇒ a = 3q + 1 (q ∈N)
b chia cho 3 dư 2 ⇒ b = 3k + 2 (k ∈N)
A.b = (3q +1)(3k + 2) = 9qk + 6q + 3k +2
Vì 9 ⋮ 3 nên 9qk ⋮ 3
Vì 6 ⋮ 3 nên 6q ⋮ 3
Vậy a.b = 9qk + 6q + 3k + 2 = 3(3qk + 2q + k) +2 chia cho 3 dư 2.
Bài 5: Chứng minh rằng biểu thức n(2n – 3) – 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Lời giải:
Ta có: n(2n – 3) – 2n(n + 1) = 2n2 – 3n – 2n2 – 2n = – 5n
Vì -5 ⋮ 5 nên -5n ⋮ 5 với mọi n ∈ Z .
Bài 6.
Tìm x, biết:
(12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 -16x) = 81.
Đáp án và hướng dẫn giải:
(12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 -16x) = 81
4x(12x-5) – (12x-5) + (3x-7) -16x (3x-7) =81
48×2 – 12x – 20x + 5 + 3x – 48×2 – 7 + 112x = 81
83x – 2 = 81
83x = 83
x = 1
Bài 7
Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192.
Đáp án và hướng dẫn giải:
Gọi ba số chẵn liên tiếp là a, a + 2, a + 4.
Ta có: (a + 2)(a + 4) – a(a + 2) = 192
a2 + 4a + 2a + 8 – a2 – 2a = 192
4a = 192 – 8 = 184
a = 46
Vậy ba số đó là 46, 48, 50.
Cách khác giải bài 14:
Gọi ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là 2x + 2 và 2x + 4 với x ∈ N
Ta có: (2x + 2)(2x +4) = 2x(2x + 2) + 192
<=> 2x(2x + 2) + 4(2x + 2) = 2x(2x + 2) + 192
<=> 4×2 + 4x + 8x + 8 = 4×2 + 4x + 192
<=> 4×2 + 4x + 8x – 4×2 – 4x = 192 – 8
<=> 8x = 184
=> x = 184 : 8 = 23
Các số tự nhiên cần tìm là: 46; 48 và 50
Bài 8
Làm tính nhân:
a) (1/2x + y)(1/2x + y);
b) (x -1/2y)(x – 1/2y)
Đáp án và hướng dẫn giải:
a) (1/2x + y)(1/2x + y) = 1/2x . 1/2x +1/2 x . y + y . 1/2x + y . y
= 1/4×2 +1/2 xy +1/2 xy + y2
=1/4×2 + xy + y2
b) (x – 1/2y)(x – 1/2y) = x . x + x(-1/2y) + (-1/2y . x) + (- 1/2y)(-1/2y)
= x2 – 1/2xy – 1/2xy + 1/4y2
= x2 – xy + 1/4y2
