Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng là kiến thức quan trọng trong hình học giải tích, giúp xác định góc tạo bởi hai đường thẳng trong mặt phẳng Oxy hoặc không gian Oxyz. Bài viết này trình bày đầy đủ cách tính góc giữa 2 đường thẳng, công thức cos góc giữa 2 đường thẳng cùng bài tập minh họa chi tiết.
1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn (hoặc góc vuông) tạo bởi hai đường thẳng đó. Góc này có giá trị từ 0° đến 90° (tức từ 0 đến (frac{pi}{2}) radian).
Các trường hợp đặc biệt:
- Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau: góc giữa chúng bằng 0°
- Nếu hai đường thẳng vuông góc: góc giữa chúng bằng 90°
- Nếu hai đường thẳng chéo nhau (trong không gian): góc giữa chúng là góc giữa hai đường thẳng song song với chúng và cắt nhau tại một điểm
2. Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, có nhiều cách biểu diễn đường thẳng. Dưới đây là các công thức tính góc giữa hai đường thẳng tương ứng với từng dạng.
2.1. Khi biết hệ số góc của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng có phương trình:
- (d_1: y = k_1 x + m_1) (hệ số góc (k_1))
- (d_2: y = k_2 x + m_2) (hệ số góc (k_2))
Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng:
Công thức Điều kiện ( tan alpha = left| frac{k_1 – k_2}{1 + k_1 cdot k_2} right| ) (k_1 cdot k_2 neq -1) ( alpha = 90° ) (k_1 cdot k_2 = -1) (vuông góc)
Trong đó (alpha) là góc giữa hai đường thẳng ((0° leq alpha leq 90°)).
2.2. Khi biết vecto chỉ phương
Cho hai đường thẳng có vecto chỉ phương:
- (d_1) có vecto chỉ phương (vec{u_1} = (a_1, b_1))
- (d_2) có vecto chỉ phương (vec{u_2} = (a_2, b_2))
Công thức cos góc giữa 2 đường thẳng:
[ cos alpha = frac{|vec{u_1} cdot vec{u_2}|}{|vec{u_1}| cdot |vec{u_2}|} = frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{sqrt{a_1^2 + b_1^2} cdot sqrt{a_2^2 + b_2^2}} ]
2.3. Khi biết vecto pháp tuyến
Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát:
- (d_1: A_1 x + B_1 y + C_1 = 0) có vecto pháp tuyến (vec{n_1} = (A_1, B_1))
- (d_2: A_2 x + B_2 y + C_2 = 0) có vecto pháp tuyến (vec{n_2} = (A_2, B_2))
Công thức góc giữa hai đường thẳng:
[ cos alpha = frac{|vec{n_1} cdot vec{n_2}|}{|vec{n_1}| cdot |vec{n_2}|} = frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{sqrt{A_1^2 + B_1^2} cdot sqrt{A_2^2 + B_2^2}} ]
3. Góc giữa 2 đường thẳng Oxyz – Công thức trong không gian
Trong không gian Oxyz, góc giữa 2 đường thẳng Oxyz được tính thông qua vecto chỉ phương của chúng.
3.1. Công thức tổng quát
Cho hai đường thẳng trong không gian:
- (d_1) có vecto chỉ phương (vec{u_1} = (a_1, b_1, c_1))
- (d_2) có vecto chỉ phương (vec{u_2} = (a_2, b_2, c_2))
Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian:
[ cos alpha = frac{|vec{u_1} cdot vec{u_2}|}{|vec{u_1}| cdot |vec{u_2}|} = frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} cdot sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} ]
3.2. Phương trình đường thẳng trong không gian
Đường thẳng trong không gian thường được cho dưới các dạng sau:
Dạng phương trình Công thức Vecto chỉ phương Phương trình tham số (begin{cases} x = x_0 + at y = y_0 + bt z = z_0 + ct end{cases}) (vec{u} = (a, b, c)) Phương trình chính tắc (frac{x – x_0}{a} = frac{y – y_0}{b} = frac{z – z_0}{c}) (vec{u} = (a, b, c))
3.3. Điều kiện đặc biệt
Từ công thức cos góc giữa 2 đường thẳng, ta có các điều kiện:
- Hai đường thẳng song song: (vec{u_1} = k cdot vec{u_2}) hay (frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2})
- Hai đường thẳng vuông góc: (vec{u_1} cdot vec{u_2} = 0) hay (a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0)
4. Cách tính góc giữa 2 đường thẳng – Hướng dẫn chi tiết
Dưới đây là cách tính góc giữa 2 đường thẳng theo từng bước cụ thể.
Phương pháp 1: Sử dụng hệ số góc (trong Oxy)
- Bước 1: Đưa phương trình đường thẳng về dạng (y = kx + m)
- Bước 2: Xác định hệ số góc (k_1) và (k_2)
- Bước 3: Kiểm tra nếu (k_1 cdot k_2 = -1) thì (alpha = 90°)
- Bước 4: Nếu không, áp dụng (tan alpha = left| frac{k_1 – k_2}{1 + k_1 k_2} right|)
- Bước 5: Tính (alpha = arctan(tan alpha))
Phương pháp 2: Sử dụng vecto chỉ phương
- Bước 1: Xác định vecto chỉ phương (vec{u_1}) và (vec{u_2})
- Bước 2: Tính tích vô hướng (vec{u_1} cdot vec{u_2})
- Bước 3: Tính độ dài (|vec{u_1}|) và (|vec{u_2}|)
- Bước 4: Áp dụng công thức (cos alpha = frac{|vec{u_1} cdot vec{u_2}|}{|vec{u_1}| cdot |vec{u_2}|})
- Bước 5: Tính (alpha = arccos(cos alpha))
Phương pháp 3: Sử dụng vecto pháp tuyến
- Bước 1: Xác định vecto pháp tuyến (vec{n_1}) và (vec{n_2}) từ phương trình tổng quát
- Bước 2: Áp dụng công thức tương tự như vecto chỉ phương
- Bước 3: Tính góc (alpha)
5. Bảng tổng hợp công thức góc giữa hai đường thẳng
Không gian Dữ kiện Công thức Mặt phẳng Oxy Hệ số góc (k_1, k_2) (tan alpha = left| frac{k_1 – k_2}{1 + k_1 k_2} right|) Vecto chỉ phương (vec{u_1}, vec{u_2}) (cos alpha = frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{sqrt{a_1^2 + b_1^2} cdot sqrt{a_2^2 + b_2^2}}) Vecto pháp tuyến (vec{n_1}, vec{n_2}) (cos alpha = frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{sqrt{A_1^2 + B_1^2} cdot sqrt{A_2^2 + B_2^2}}) Không gian Oxyz Vecto chỉ phương (vec{u_1}, vec{u_2}) (cos alpha = frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} cdot sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}})
6. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Tính góc giữa hai đường thẳng biết hệ số góc
Đề bài: Tính góc giữa hai đường thẳng (d_1: y = 2x + 1) và (d_2: y = -3x + 5).
Lời giải:
Ta có: (k_1 = 2), (k_2 = -3)
Kiểm tra: (k_1 cdot k_2 = 2 cdot (-3) = -6 neq -1)
Áp dụng công thức tính góc giữa 2 đường thẳng:
[ tan alpha = left| frac{k_1 – k_2}{1 + k_1 k_2} right| = left| frac{2 – (-3)}{1 + 2 cdot (-3)} right| = left| frac{5}{1 – 6} right| = left| frac{5}{-5} right| = 1 ]
[ alpha = arctan(1) = 45° ]
Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng 45°
Bài tập 2: Tính góc bằng vecto pháp tuyến
Đề bài: Tính góc giữa hai đường thẳng (d_1: 3x – 4y + 2 = 0) và (d_2: 5x + 12y – 1 = 0).
Lời giải:
Vecto pháp tuyến:
- (vec{n_1} = (3, -4))
- (vec{n_2} = (5, 12))
Áp dụng công thức cos góc giữa 2 đường thẳng:
[ cos alpha = frac{|vec{n_1} cdot vec{n_2}|}{|vec{n_1}| cdot |vec{n_2}|} ]
Tính tích vô hướng:
[ vec{n_1} cdot vec{n_2} = 3 cdot 5 + (-4) cdot 12 = 15 – 48 = -33 ]
Tính độ dài các vecto:
- (|vec{n_1}| = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9 + 16} = 5)
- (|vec{n_2}| = sqrt{5^2 + 12^2} = sqrt{25 + 144} = 13)
Do đó:
[ cos alpha = frac{|-33|}{5 cdot 13} = frac{33}{65} ]
[ alpha = arccosleft(frac{33}{65}right) approx 59°29′ ]
Vậy góc giữa hai đường thẳng xấp xỉ 59°29′
Bài tập 3: Góc giữa 2 đường thẳng Oxyz
Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
- (d_1: frac{x-1}{2} = frac{y+1}{1} = frac{z}{-2})
- (d_2: frac{x}{1} = frac{y-2}{2} = frac{z+1}{2})
Tính góc giữa (d_1) và (d_2).
Lời giải:
Từ phương trình chính tắc, ta có vecto chỉ phương:
- (vec{u_1} = (2, 1, -2))
- (vec{u_2} = (1, 2, 2))
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian:
[ cos alpha = frac{|vec{u_1} cdot vec{u_2}|}{|vec{u_1}| cdot |vec{u_2}|} ]
Tính tích vô hướng:
[ vec{u_1} cdot vec{u_2} = 2 cdot 1 + 1 cdot 2 + (-2) cdot 2 = 2 + 2 – 4 = 0 ]
Vì (vec{u_1} cdot vec{u_2} = 0) nên:
[ cos alpha = 0 Rightarrow alpha = 90° ]
Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau, góc giữa chúng bằng 90°
Bài tập 4: Bài toán tổng hợp
Đề bài: Cho đường thẳng (d_1) đi qua (A(1, 2, 3)) và có vecto chỉ phương (vec{u_1} = (1, -1, 0)). Đường thẳng (d_2) đi qua (B(0, 1, -1)) và có vecto chỉ phương (vec{u_2} = (2, 1, -1)). Tính góc giữa (d_1) và (d_2).
Lời giải:
Ta có:
- (vec{u_1} = (1, -1, 0))
- (vec{u_2} = (2, 1, -1))
Tính tích vô hướng:
[ vec{u_1} cdot vec{u_2} = 1 cdot 2 + (-1) cdot 1 + 0 cdot (-1) = 2 – 1 + 0 = 1 ]
Tính độ dài các vecto:
- (|vec{u_1}| = sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = sqrt{2})
- (|vec{u_2}| = sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = sqrt{6})
Áp dụng công thức:
[ cos alpha = frac{|1|}{sqrt{2} cdot sqrt{6}} = frac{1}{sqrt{12}} = frac{1}{2sqrt{3}} = frac{sqrt{3}}{6} ]
[ alpha = arccosleft(frac{sqrt{3}}{6}right) approx 73°13′ ]
Vậy góc giữa hai đường thẳng xấp xỉ 73°13′
Bài tập 5: Tìm điều kiện vuông góc
Đề bài: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d_1: y = mx + 2) và (d_2: y = (m+1)x – 3) vuông góc với nhau.
Lời giải:
Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi:
[ k_1 cdot k_2 = -1 ]
Ta có: (k_1 = m), (k_2 = m + 1)
Điều kiện vuông góc:
[ m cdot (m + 1) = -1 ]
[ m^2 + m + 1 = 0 ]
Tính (Delta = 1 – 4 = -3 < 0)
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không tồn tại giá trị m để hai đường thẳng vuông góc
Bài tập 6: Bài tập tự luyện
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
- (d_1: y = x + 1) và (d_2: y = -x + 3)
- (d_1: 2x – y + 1 = 0) và (d_2: x + 2y – 3 = 0)
- (d_1: frac{x-1}{1} = frac{y}{2} = frac{z+1}{1}) và (d_2: frac{x}{2} = frac{y-1}{1} = frac{z}{-1})
- Tìm m để (d_1: 2x + my – 1 = 0) và (d_2: x – 3y + 2 = 0) vuông góc
Đáp số:
- (alpha = 90°)
- (alpha = 90°)
- (alpha = 60°)
- (m = frac{2}{3})
7. Kết luận
Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng là công cụ quan trọng trong hình học giải tích. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:
- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng Oxy qua hệ số góc, vecto chỉ phương, vecto pháp tuyến
- Góc giữa 2 đường thẳng Oxyz trong không gian ba chiều
- Cách tính góc giữa 2 đường thẳng theo từng bước chi tiết
- Công thức cos góc giữa 2 đường thẳng và các điều kiện song song, vuông góc
Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập để thành thạo công thức tính góc giữa hai đường thẳng. Chúc bạn học tốt!
