Tách hạng tử là một trong các phương pháp hỗ trợ cho các dạng bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Vậy phân tích đa thức nhân tử là gì? Tách hạng tử là phương pháp như thế nào? Và làm thế nào để có thể vận dụng hiệu quả phương pháp tách hạng tử để giải một bài toán? Để trả lời các câu hỏi trên, chúng ta cùng nhau tìm hiểu thông qua bài viết sau đây nhé.
1. Định nghĩa về phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Một số ví dụ về phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 4×2 + 6x = 2x(2x + 3)
b) x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x)+ (xy – 3y) = x(x – 3) + y(x – 3) = (x + y)(x – 3)
c) x3 + 3×2 + 3x + 1 = (x+1)3
d) x4 – y4 = (x2 – y2 )(x2 + y2) = (x – y)(x + y)(x2 + y2)
Qua các ví dụ trên, chúng ta có thể thấy việc phân tích đa thức thành nhân tử được thực hiện thông qua các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử hay dùng hằng đẳng thức. Tuy nhiên, có một số đa thức mà các phương pháp trên đều không áp dụng được, khi đó ta sẽ nghĩ đến phương pháp tách hạng tử. Vậy tách hạng tử là phương pháp như thế nào, mời các bạn xem phần tiếp theo.
2. Phương pháp tách hạng tử
Phương pháp tách hạng tử là tách một hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử sau đó nhóm các hạng tử thích hợp để làm xuất hiện các nhân tử chung hay các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x + 6 = (x2 – 2x) – (3x – 6) = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3)
b) x2 – 6x +8 = x2 – 6x + 9 -1 = (x2 – 2.3x + 32) -12 = (x – 3)2 -12 = (x – 3 – 1)(x – 3 + 1) = (x – 4)(x – 2)
c) 2×2 – 5xy + 3y2 = 2×2 – 2xy – 3xy – 3y2 = (2×2 – 2xy) – (3xy – 3y2) = 2x(x – y) – 3y(x – y) = (x – y)(2x – 3y)
3. Một số dạng bài tập vận dụng tách hạng tử
3.1. Dạng 1: Tách hạng tử đối với các đa thức bậc hai
Đối với đa thức bậc hai: ax2 + bx + c = 0 khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử, ta sẽ tách hạng tử bx thành hai hạng tử b1x + b2x. Lúc này, các hệ số b1 và b2 được chọn phải thõa mãn : b1 + b2 = b và b1b2 = ac.
Ví dụ: Phân tích đa thức 4×2 – x – 3 thành nhân tử
Hướng dẫn:
4×2 – x – 3 có các hệ số a = 4; b = -1; c = -3
Ta có: ac = 4.(-3) = -12 = 1.(-12) = (-1).12 = 3.(-4) = (-3).4 = 2.(-6) = (-6).2
Lúc này, ta chọn hệ số b1 và b2 lần lượt là 3 và -4 vì b1 + b2 = 3 + (-4) = -1 = b.
Khi đó đa thức sẽ được phân tích như sau:
4×2 – x – 3 = 4×2 + 3x – 4x – 3 = (4×2 – 4x) – (3x – 3) = 4x(x -1) – 3(x – 1) = (x – 1)(4x – 3)
Bài tập vận dụng
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 + 7x + 12
b) 3×2 – 10x – 8
c) 6×2 + 23x + 7
ĐÁP ÁN
a) x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12 = (x2 + 3x) + (4x + 12) = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)
b) 3×2 – 10x – 8 = 3×2 + 2x – 12x – 8 = (3×2 + 2x) – (12x + 8) = x(3x + 2) – 4(3x – 2) = (x – 4)(3x + 2)
c) 6×2 + 23x + 7 = 6×2 + 2x + 21x + 7 = (6×2 + 2x) + (21x + 7) = 2x(3x + 1) + 7(3x + 1) = (3x + 1)(2x + 7)
3.2. Dạng 2: Phương pháp đổi biến
Qua dạng thứ nhất, ta có thể giải quyết dễ dàng các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đối với đa thức bậc hai. Vậy đối với các đa thức bậc lớn hơn hai, ta sẽ xử lý như thế nào? Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể dùng phương pháp đổi biến, với mục tiêu đưa đa thức bậc cao về dạng bậc hai và sau đó vận dụng cách giải ở dạng một để giải quyết bài toán.
Ví dụ: Phân tích đa thức 3×4 + 5×2 – 2 thành nhân tử.
Hướng dẫn:
Đặt t = x2
Khi đó đa thức đã cho trở thành: 3t2 + 5t – 2. Bài toán này ta có thể giải quyết dễ dàng nhờ áp dụng dạng 1.
3t2 + 5t – 2 = 3t2 + 6t – t – 2 = (3t2 + 6t) – (t + 2) = 3t(t + 2) – (t + 2) = (t + 2)(3t – 1).
3×4 + 5×2 – 2 = (x2 + 2)( 3×2 – 1)
Bài tập vận dụng
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2×2 – 5xy + 3y2
b) (x2 – 4x)2 + (x – 2)2 -10
c) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +1
ĐÁP ÁN
a) ta có:
(1)
Đặt
Khi đó (1) sẽ trở thành y2(2t2 – 5t + 3). Ta có
y2(2t2 – 5t + 3) = y2(2t2 – 2t – 3t + 3) = y2 [(2t2 – 2t) – (3t – 3)] = y2 [2t(t – 1) -3(t – 1)] = y2(t – 1)(2t – 3)
Vậy 2×2 – 5xy + 3y2 = (x – y)(2x – 3y)
b) (x2 – 4x)2 + (x – 2)2 -10 = (x2 – 4x + 4 – 4)2 + (x – 2)2 – 10 = [(x – 2)2 – 4]2 + [(x – 2)2 – 4] – 6 (1)
Đặt t = (x – 2)2 – 4, khi đó (1) trở thành
t2 + t – 6 = t2 + 3t – 2t – 6 = (t2 + 3t) – (2t + 6) = t(t + 3) – 2(t + 3) = (t + 3)(t – 2)
Vậy (x2 – 4x)2 + (x – 2)2 -10 = [(x – 2)2 -1][(x – 2)2 – 6] = (x – 3)(x – 1)(x2 – 4x – 2)
c) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +1 = x(x + 3)(x + 1)(x + 2) +1 = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) +1 (1)
Đặt t = x2 + 3x, Khi đó (1) trở thành:
t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
Vậy x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +1 = (x2 + 3x +1)2
* Chú ý: Câu c) có thể phát biểu dưới dạng một bài toán số học như sau: chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là một số chính phương.
3.3. Dạng 3: Thêm bớt cùng một số hạng
Khi gặp các dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử nếu không thể áp dụng được dạng một hoặc dạng hai ở trên, chúng ta có thể nghĩ đến việc thêm bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hiệu hai bình phương hoặc xuất hiện thừa số chung.
Ví dụ:Phân tích đa thức 4×4 + 16 thành nhân tử.
Hướng dẫn:
Bài tập vận dụng
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x8 + x4 + 1
b) x5 + x +1
ĐÁP ÁN
a)
b)
*Chú ý:
Đối với đa thức có dạng: x3m+1 + x3n+2 + 1 đều chứa nhân tử x2 + x +1.
Ví dụ: x7 + x2 +1 ; x4 + x5 +1; x10 + x2 + 1;…….
4. Bài tập nâng cao áp dụng phương pháp tách hạng tử
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
- a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)
- (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3
- a(a + 2b)3 – b(2a + b)3
ĐÁP ÁN
a) Đặt A = a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b). Khi đó ta có:
b) Đặt B = (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3. Biểu thức B biến đổi như sau:
c) Đặt C = a(a + 2b)3 – b(2a + b)3. Khi đó ta có:
Bài học trên là tập hợp các dạng bài tập vận dụng phương pháp tách hạng tử để giải quyết các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Hi vọng qua những kiến thức từ bài viết, các bạn học sinh có thể hiểu và vận dụng một cách dễ dàng trong các bài tập trên lớp và bài tập về nhà.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
