Bài viết Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính.
Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
A. Phương pháp giải
+ Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 – c > 0. Khi đó; phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R =
+ Phương trình (x – a)2 + (y – b)2 = R2 là đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (1) . Điều kiện để (1) là phương trình của đường tròn là
A. a2 + b2 – 4c > 0. B. a2+ b2 – c > 0. C. a2+ b2 – c2 > 0. D. a2+ b2 – 2c > 0.
Lời giải
Ta có: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Tương đương: (x – a)2 + (y – b)2 = a2 + b2 – c
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: a2 + b2 – c > 0.
Chọn B.
Ví dụ 2. Để x2+ y2- ax – by + c = 0 là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là
A. 2a2 + 2b2 – c > 0. B. a2 + b2 – 2c > 0. C. a2 + b2 – 4c > 0. D. a2 + b2 + c > 0.
Lời giải
Ta có:
x2 + y2 – ax – by + c = 0 (1)
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn:
– c > 0 hay a2 + b2 – 4c > 0
Chọn C.
Ví dụ 3. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn? (I) x2 + y2 – 4x + 15y – 12 = 0. (II) x2 + y2 – 3x + 4y + 20 = 0. (III) 2×2 + 2y2 – 4x + 6y + 1 = 0 .
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III). D. Chỉ (I) và (III).
Lời giải
Ta xét các phương án:
(I) có: a2 + b2 – c = 4 + + 12 = > 0
(II) có: a2 + b2 – c = + – 20 = – < 0
(III) tương đương : x2+ y2 – 2x – 3y + 0,5 = 0.
phương trình này có: a2 + b2 – c = 1 + – = > 0
Vậy chỉ (I) và (III) là phương trình đường tròn.
Chọn D.
Ví dụ 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? (1) Đường tròn (C1) : x2+ y2 – 2x + 4y – 4 = 0 có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3. (2) Đường tròn (C2) x2+ y2 – 5x + 3y – 0,5 = 0 có tâm I( ; – ) bán kính R = 3.
A. Chỉ (1). B. Chỉ (2). C. cả hai D. Không có.
Lời giải
Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R = = 3
Vậy (1) đúng
Đường tròn ( C2): a = , b = – ⇒ I( ; – ); R = = 3
Vậy (2) đúng.
Chọn C.
Ví dụ 5. Đường tròn 3×2 + 3y2 – 6x + 9y – 9 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. 2,5 B. 3 C. 2 D. 4
Lời giải
Ta viết lại phương trình đường tròn: x2 + y2 – 2x + 3y – 3 = 0
Suy ra a = 1; b = -1,5 và c = -3 và bán kính R =
Chọn A.
Ví dụ 6. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x + 3 = 0 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A. tâm I( 2; 0) B. bán kính R = 1
C. (C) cắt trục 0x tại 2 điểm. D. (C) cắt trục Oy tại 2 điểm.
Lời giải
Cho x= 0 ta được : y2 + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.
Vậy (C) không có điểm chung nào với trục tung.
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho đường tròn (C) : x2+ y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. (C) không đi qua điểm O. B. tâm I( -4 ; -3).
C. bán kính R = 4. D. (C) đi qua điểm M(-1 ; 0) .
Lời giải
+Ta có a = -4; b = -3 ; c = 9 và a2 + b2 – c = 16 + 9 – 9 = 16 > 0
Suy ra (C) là đường tròn tâm I( -4; -3) và R = 4
Vậy B; C đúng.
+ Thay O vào (C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 vô lí . Vậy A đúng.
+ Thay M( -1; 0) vào (C) ta có: (-1)2 + 02 + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ( vô lý). Vậy D sai.
Chọn D.
Ví dụ 8. Đường tròn x2 + y2 – 10x – 11 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?
A. 6 B. 2 C. 4 D. √6
Lời giải
Ta có hệ số a = 5; b = 0 và c = -11 nên bán kính là R = = 6
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho phương trình: x2 + y2 – 2mx + 4y + 4 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?
A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2
Lời giải
Phương trình x2+ y2 – 2mx + 4y + 4 = 0 có a = m; b = -2 và c = 4.
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 – c > 0 hay m2 + (-2)2 – 4 > 0
⇔ m2 > 0 ⇔ m ≠ 0
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho phương trình x2 + y2 – 2mx + 4ny – 4 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(2; 4)?
A. m = 1; n = -2 B. m = 2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2
Lời giải
Phương trình x2 + y2 – 2mx + 4ny – 4 = 0 có:
a = m; b = -2n và c = -4
Ta có: a2+ b2 – c = m2 + 4n2 + 4 > 0 với mọi m và n.
⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(m; -2n).
Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:
Chọn B.
Ví dụ 11. Cho phương trình x2 + y2 + 2x – my + 1 = 0. Tìm m để phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính R = 2?
A. m = ± 8 B. m = 6 C. m = 10 D. m = ± 4
Lời giải
Phương trình x2 + y2 + 2x – my + 1 = 0 có:
a = -1; b = và c = 1
Để phương trình trên là phương trình đường tròn nếu: a2+ b2- c > 0
⇔ 1 + – 1 > 0 ⇔ > 0 ⇔ m ≠ 0.
Với điều kiện m ≠ 0 thì phương trình trên là phương trình đường tròn có bán kính là:
R =
Theo đề bài ta có: R = 2 nên = 2
⇔ ( thỏa mãn điều kiện )
Chọn A.
Ví dụ 12. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
A. 4×2 + y2 – 10x – 6y – 22 = 0 B. x2 + y2 – 2x – 8y + 20 = 0
C. x2 + 2y2 – 4y – 8y + 1 = 0 D. x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
Lời giải
Xét phương trình dạng : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 lần lượt tính các hệ số a ; b ; c. Để phương trình trên là phương trình đường tròn điều kiện là a2 + b2 – c > 0 .
+ Xét phương án D : có a = 2 ;b = 3 và c = -12
⇒ a2 + b2 – c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0
⇒ Phương trình x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 là phương trình đường tròn.
+ Các phương trình 4×2 + y2 – 10x – 6y – 2 = 0 và x2 + 2y2- 4x – 8y + 1 = 0 không có dạng đã nêu loại các đáp án A và C.
+ Phương án x2 + y2 – 2x – 8y + 20 = 0 không thỏa mãn điều kiện a2 + b2 – c > 0.
Chọn D.
Ví dụ 13. Cho phương trình x2 + y2 + 2mx + 2(m-1)y + 2m2 = 0 (1) . Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
A. m < B. m ≤ C. m > 1 D. m = 1
Lời giải
Ta có: trình x2 + y2 + 2mx + 2(m-1)y + 2m2 = 0
⇒ a = -m; b = 1 – m; c = 2m2
Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì:
a2 + b2 – c > 0 ⇔ m2 + ( 1 – m)2 – 2m2 > 0
⇔ m2 + 1 – 2m + m2 – 2m2 > 0
⇔ 1 – 2m > 0 ⇔ m <
Chọn A.
Ví dụ 14. Cho phương trình x2 + y2 – 2mx – 4(m – 2)y + 6 – m = 0 (1). Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
A. đúng mọi m B. m ∈( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞)
C. m ∈ ( -∞; 1] ∪ [2; +∞) D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: x2 + y2 – 2mx – 4(m – 2)y + 6 – m = 0 có:
a = m; b = 2m – 4; c = 6 – m
Để phương trình trên là phương trình đường tròn ⇔ a2 + b2 – c > 0.
⇔ m2 + ( 2m – 4)2 – (6 – m) > 0
⇔ m2 + 4m2 – 16m + 16 – 6 + m > 0
⇔ 5m2 – 15m + 10 > 0 ⇔ m ∈ ( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞)
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Đường tròn 2×2 + 2y2 – 8x + 4y – 4 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?
A. (8; -4) B. ( 4; -2) C. ( -4; 2) D. (2; -1 )
Lời giải:
Đáp án: D
Ta viết lại phương trình đường tròn: x2 + y2 – 4x + 2y- 4 = 0
Ta có: nên tâm I( 2; -1) .
Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
A. x2 + y2 + 2x – 4y + 9 = 0 B. x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0
C. 2×2 + 2y2 – 8x – 4y – 6 = 0 D. 5×2 + 4y2 + x – 4y + 1 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
Ta xét các phương án:
+Phương án D loại vì không có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
+Phương án A : có a = -1 ; b = 2 và c = 9
⇒ a2 + b2 – c = 1 + 4 – 9 = – 4 < 0
⇒ Phương án A không là phương trình đường tròn.
+ Phương án B : có a = 3; b = -2 ; c = 13
⇒ a2 + b2 – c = 9 + 4 – 13 = 0
⇒ loại B.
+ Phương án C:
2×2 + 2y2 – 8x – 4y – 6 = 0 ⇔ x2 + y2 – 4x – 2y – 3 = 0
Có a = 2; b = 1; c = -3
⇒a2 + b2 – c = 4 + 1 + 3 = 8 > 0
⇒ Đây là phương trình đường tròn
Câu 3: Cho đường cong (C) : x2 + y2 – 8x + 10y + m = 0. Với giá trị nào của m thì (C) là đường tròn có bán kính bằng 7 ?
A. m = 4 B. m = 8 C. m = -8 D. m = -2
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có a = 4; b = – 5 và c = m.
Bán kính đường tròn là: R =
Để bán kính đường tròn là 7 thì: = 7 ⇔ = 7.
⇔ 41 – m = 49 ⇔ m = -8
Câu 4: Phương trình x2 + y2 – 2(m + 1)x – 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi
A. m < 0 B. m < 1 C. m > 1 D. m < – 1 hoặc m > 1.
Lời giải:
Đáp án: D
Ta có:
x2 + y2 – 2(m + 1)x – 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0(1)
⇔ x2 – 2(m + 1)x + (m + 1)2 + y2 – 2(m + 2)y + (m + 2)2 – (m + 1)2 – (m + 2)2 + 6m + 7 = 0
⇔ [x – (m + 1)]2 + [y – (m + 2)]2 = 2m2 – 2)
Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: 2m2 – 2 > 0 ⇔
Câu 5: Tìm m để phương trình x2 + y2 – 2mx + 4y + 8 = 0 không phải là phương trình đường tròn.
A. m < – 2 hoặc m > 2. B. m > 2 C. -2 ≤ m ≤ 2 D. m < – 2
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có: x2 + y2 – 2mx – 4y + 8 = 0(1)
⇔ x2 – 2mx + m2 + y2 – 2.2.y + 22 – m2 – 22 + 8 = 0 ⇔ (x – m)2 + (y – 2)2 = m2 – 4
Vậy điều kiện để (1) không phải là phương trình đường tròn:
m2 – 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2
Câu 6: Cho hai mệnh đề (I) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 là phương trình đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R. (II) x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a; b). Hỏi mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).
C. Cả (I) và (II) đều sai. D. Cả (I) và (II).
Lời giải:
Đáp án: A
(I) đúng, (II) sai vì thiếu điều kiện a2 + b2 – c > 0.
Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng? (I) Đường tròn (C1) có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3. (II) Đường tròn (C2) có tâm bán kính R = 3.
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. (I) và (II). D. Không có.
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R = = 3
Vậy (1) đúng
Đường tròn ( C2): a = , b = – ⇒ I( ; – ); R = = 3
Vậy (2) đúng.
Câu 8: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. ( C) không đi qua điểm O(0 ; 0) . B. ( C) có tâm I( -4 ; -3) .
C. ( C) có bán kính R = 4. D. ( C ) đi qua điểm M( -1 ; 0) .
Lời giải:
Đáp án: D
Đường tròn ( C)có:
a = -4, b = -3 ⇒ I(-4; -3); R = = 4. Vậy B; C đúng.
Thay O(0; 0) vào ( C) ta có: 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 9 = 0 ( vô lý).
⇒ đường tròn ( C) không đi qua điểm O . Vậy A đúng.
Thay M( -1; 0) vào ( C) ta có: (-1)2 + 02 + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 2 = 0 ( vô lý).
⇒ Đường tròn ( C) không đi qua điểm M( -1; 0) . Vậy D sai.
Câu 9: Cho đường tròn (C)2×2 + 2y2 – 4x + 8y + 1 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ( C) không cắt trục Oy. B. ( C) cắt trục Ox tại hai điểm.
C. ( C) có tâm I (2 ; -4) . D. ( C) có bán kính R = √19 .
Lời giải:
Đáp án: B
+ Ta viết lại phương trình đường tròn(C) ⇔ x2 + y2 – 2x + 4y + = 0
⇒ a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =
Vậy C; D sai.
+ Cho x = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y = hoặc y =
Do đó ( C) cắt trục Oy tại hai điểm phân biệt. Vậy A sai
+ Cho y = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y = hoặc y =
Do đó ( C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Vậy B đúng
Câu 10: Đường tròn x2 + y2 – 6x – 8y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. 10 B. 25 C. 5 D. √10.
Lời giải:
Đáp án: C
Đường tròn x2 + y2 – 6x – 8y = 0 có a = 3; b = 4 và c = 0
⇒ a2 + b2 – c = 9 + 16 – 0 = 25 > 0
⇒ Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính là:
R = = 5 .
Câu 11: Đường tròn x2 + y2 – 5y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?
A. √5 B. 25 C. D.
Lời giải:
Đáp án: C
Đường tròn có a = 0; b = và c = 0.
⇒ Bán kính đường tròn là : R = =
Câu 12: Đường tròn x2 + y2 + – √3 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?
A. (0; ) B. (- ; 0) C. (√2; √3) D. ( ; 0)
Lời giải:
Đáp án: B
Ta có: nên tâm I(- ; 0) .
Câu 13: Đường tròn 2×2 + 2y2 – 8x + 4y – 1 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?
A. (-2; 1) B. (8; -4) C. (-8; 4) D. (2; -1)
Lời giải:
Đáp án: D
Ta có ( C) : 2×2 + 2y2 – 8x + 4y – 1 = 0 ⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – = 0
⇒ a = 2; b = – 1 nên tâm đường tròn là I ( 2; -1) .
Câu 14: Cho phương trình: x2 + y2 – 8mx + 6y + 9 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?
A. m > 1 B. m > 0 C. m ≠ 0 D. m > -1 hoặc m < 2
Lời giải:
Đáp án: C
Phương trình x2 + y2 – 8mx + 6y + 9 = 0 có a = 4m; b = -3 và c = 9.
Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 – c > 0 hay (4m)2 + (-3)2 – 9 > 0
⇔ 16m2 > 0 ⇔ m ≠ 0
Câu 15: Cho phương trình x2 + y2 – 6mx + 8ny – 1 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(-6; 8)?
A. m = 1; n = -2 B. m = -2; n = -2 C. m = 4; n = -4 D. m = -2; n = 2
Lời giải:
Đáp án: B
Phương trình x2 + y2 – 6mx + 8ny – 1 = 0 có:
a = 3m; b = -4n và c = -1
Ta có: a2 + b2 – c = 9m2 + 16n2 + 1 > 0 với mọi m và n.
⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(3m; -4n).
Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:
Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?
A. x2 + y2 – x – y + 9 = 0. B. x2 + y2 – x = 0
C. x2 + y2 – 2xy – 1 = 0 D. x2 – y2 – 2x + 3y – 1 = 0
Lời giải:
Đáp án: B
Loại C vì có số hạng -2xy.
Phương án A: a = b = , c = 9 ⇒ a2 + b2 – c < 0 nên không phải phương trình đường tròn.
Phương án D: loại vì có – y2 .
Phương án B: a = ,b = 0, c = 0 ⇒ a2 + b2 – c > 0 nên là phương trình đường tròn.
Câu 17: Cho phương trình x2 + y2 – 2x + 2my + 10 = 0 (1). Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn?
A. Không có. B. 6 C. 7 D. Vô số
Lời giải:
Đáp án: C
Phương trình : x2 + y2 – 2x + 2my + 10 = 0 có : a = 1;b = -m và c = 10
Để phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:
a2 + b2 – c > 0 ⇔ 1 + m2 – 10 > 0
⇔ m2 – 9 > 0 ⇔
⇒Các giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn là : m ∈ { 4; 5; 6; 7; … ; 10}
Câu 18: Cho phương trình x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m để (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
A. m = 2 B. m = -1 C. m = 1 D. m = -2
Lời giải:
Đáp án: B
Phương trình x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 có hệ số:
a = m + 1; b = – 2 và c = -1
Để (1) là phương trình đường tròn thì: a2 + b2 – c > 0
⇔ (m + 1)2 + 4 + 1 > 0 ⇔(m + 1)2 + 5 > 0 luôn đúng với mọi m vì (m + 1)3 ≥0
Vậy với mọi m ( 1) luôn là phương trình đường tròn có bán kính :
R =
⇒ Rmin khi và chỉ khi (m + 1)2 + 5 min
⇔ m + 1 = 0 hay m = -1
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính
- Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
- Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
- Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
- Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn
Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
