Bài viết Cách viết phương trình chính tắc của Elip với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách viết phương trình chính tắc của Elip.
Cách viết phương trình chính tắc của Elip (cực hay)
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
A. Phương pháp giải
– Từ các thành phần đã biết, áp dụng các công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip:
= 1
– Các hệ thức:
+ 0 < b < a; 0 < c < a
+ c2 = a2 – b2
+ F1F2 = 2c ( tiêu cự)
+ A1A2 = 2a (độ dài trục lớn) .
+ B1B2 = 2b( độ dài trục nhỏ).
+ M thuộc ( E) ⇔ MF1 MF2= 2a.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip ( E) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)?
A. = 1 B.
C. D.
Lời giải
Phương trình chính tắc của elip có dạng = 1 (a,b > 0).
Ta có độ dài trục lớn bằng 12 nên 2a= 12 ⇒ a= 6
Vậy phương trình của Elip là: = 1.
Chọn C
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài tiêu cự bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)?
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Ta có:
+ Độ dài trục lớn bằng 10 nên 2a = 10 ⇒ a = 5
+ Độ dài tiêu cự là 6 nên 2c = 6 ⇒ c = 3
⇒ b2 = a2 – c2 = 52- 32 = 16
Vậy phương trình của Elip là: = 1.
Chọn A
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ bằng 8 và độ dài tiêu cự bằng 10. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Ta có:
+ Độ dài trục nhỏ là 8 nên 2b= 8 ⇔ b= 4.
+ Độ dài tiêu cự bằng 10 nên 2c= 10 ⇔ c= 5
Suy ra : a2 = b2 + c2 = 42+ 52 = 41
Vậy phương trình của Elip là: = 1
Chọn D
Ví dụ 4: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3.
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip = 1 (a,b > 0). .
Ta có ⇒ ⇒
⇒ Phương trình elip ( E) : = 1
Chọn D
Ví dụ 5: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/3 .
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).
Tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/3 nên ⇒ a = 3c.
Lại có trục lớn bằng 6 nên 2a= 6 ⇔ a= 3
Mà a = 3c nên c = 1 ⇒ b2 = a2 – c2 = 8
⇒ Phương trình chính tắc elip ( E) : = 1
Chọn B
Ví dụ 6: Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là
M( 4; 3)
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).
Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở có tọa độ: ( a;b) ; ( a; – b); ( -a; -b) và (-a; b).
Ta có M(4; 3) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở nên chọn .
⇒ Phương trình elip ( E) : = 1.
Chọn A
Ví dụ 7: Phương trình của Elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
A. 9×2 + 16y2 = 144 B. = 1
C. 9×2 + 16y2 = 1 D. = 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).
Ta có độ dài trục lớn là 8 và độ dài trục nhỏ bằng 6 nên: ⇒
⇒ Phương trình elip ( E) : = 1 hay 9×2 + 16y2 = 144
Chọn A
Ví dụ 8: Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 26, tâm sai e = là
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
+ Ta có độ dài trục lớn là 26 nên 2a = 26 ⇔ a = 13
+ Tâm sai của elip (E): e =
⇔ c = 12
⇒ b2 = a2 – c2 = 132- 122 = 25
Phương trình chính tắc của elip là: (E): = 1.
Chọn B
Ví dụ 9: Elip có một tiêu điểm F( -2; 0) và tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12√5. Phương trình chính tắc của elip là:
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Elip ( E) có một tiêu điểm F(-2; 0) nên c = 2.
Elip ( E) có tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12√5 nên :
2a. 2b = 12√5 hay ab = 3√5 ⇒a =
Lại có: a2 – b2 = c2 nên – b2 = 4
⇔ 45- b4 = 4b2 ⇔
Với b2 = 5 thì b = √5 ⇒ a = = 3.
⇒ Phương trình chính tắc của Elip là = 1.
Chọn A
Ví dụ 10: Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 12 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 4/5.
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a,b > 0).
Độ dài trục nhỏ của Elip là 12 suy ra 2b = 12 ⇒ b = 6. ( 1)
Tiêu cự của Elip là 2c; độ dài trục lớn là 2a theo giả thiết ta có:
nên c = (2)
Mặt khác a2 – b2 = c2 ( 3)
Thay (1); ( 2) vào ( 3) ta được: a2 – 62 =
⇔ a2 – 36= ⇔ = 36
⇔ a2 = 100
Vậy phương trình cần tìm là ( E) : = 1.
Chọn D
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tiêu cự bằng 2 và trục lớn bằng 10?
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án:A
Từ đề ta có: ⇒
Từ công thức b2 = a2 – c2 ⇒ b =
Phương trình chính tắc của elip: = 1
Câu 2: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tâm sai bằng và độ dài trục lớn bằng 6?
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: C
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a,b > 0).
Do (E) có tâm sai bằng và độ dài trục lớn bằng 6 nên ta có:
⇔ ⇔ ⇒ ( E ): = 1
Câu 3: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: C
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a,b > 0).
Do (E) có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3 nên :
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ( E ): = 1
Câu 4:: Elip (E) có tiêu điểm F( 2√3;0) và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 32 có phương trình chính tắc là:
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: B
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a,b > 0).
Elip ( E) có tiêu điểm: F(2√3;0) nên c=2√3 => c2= 12.
Hình chữ nhật cơ sở có diện tích: S= ( 2a).(2b)= 4ab= 32 ⇔ ab= 8
⇔a2.b2 = 64 ⇔ a2 ( a2 – c2)= 64
⇔ a2 ( a2 – 12) = 64
⇔ a4—12a2- 64= 0
⇔ a2= 16 ⇒ b2 = 4
Vậy phương tình elip là: = 1
Câu 5:Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: C
Elip ( E) có độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị nên:
2a – 2b = 4 hay a – b = 2 ⇔ a = b + 2 ( 1)
Elip ( E) có độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị nên
2b – 2c = 4 ⇔ b – c = 2 ⇔ c = b – 2. ( 2)
Lại có: a2= b2 + c2 ( 3)
Thay (1), ( 2) vào ( 3) ta được
= b2 + ⇔ b2 + 4b+4= b2 + b2 – 4b+ 4
⇔ b2 – 8b=0 ⇔
Với b = 8 thì a = b + 2 = 10
=> Phương trình chính tắc của Elip là: = 1
Câu 6:Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng √2, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: A
+ Elip ( E) có tỉ số độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng √2 nên :
= √2 ⇒ c = ⇒ c2 = (1) .
+ Mặt khác, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64 nên:
( 2a)2 + ( 2c)2 = 64 ⇔ 4a2 + 4c2 = 64
⇔ a2 + c2 = 16 (2)
Lại có: a2= b2 + c2 ( 3).
Giải hệ phương trình ( 1) ; ( 2) và (3) ta được :
c =
Phương trình chính tắc của Elip là: = 1
Câu 7:Elip có tổng độ dài hai trục bằng 18 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng . Phương trình chính tắc của elip là
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: A
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a,b > 0).
+ Tổng độ dài hai trục của Elip là 18 nên :
2a + 2b = 18 ⇔ a + b = 9 ⇔ b = 9 – a (1)
Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng nên : = = => c = (2)
Mà a2 – b2 = c2 ( 3)
Thay (1); ( 2) vào ( 3) ta được :
a2 – (9 – a)2 = ⇔ a2 – 81 + 18a – a2 =
⇔ -18a + 81 = 0 ⇔
+ Với a = 45 thì b = 9- 45 = – 36 < 0 loại.
+ Với a = 5 thì b= 9 – 5 = 4
Vậy phương trình cần tìm là: = 1
Câu 8: Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng . Phương trình chính tắc của elip là:
A. = 1 B. = 1
C. = 1 D. = 1
Lời giải:
Đáp án: D
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a,b > 0).
+ Tổng độ dài hai trục của Elip là 2a + 2b = 10 ⇔ a + b = 5 ⇔ b = 5 – a ( 1)
+ Tiêu cự của Elip là 2c; độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số:
= nên c = ( 2)
Mà a2 – b2 = c2 ( 3)
Thay (1);( 2) vào (3) ta được :
a2 – ( 5 – a )2 = ⇔ a2 – 25 + 10a – a2=
⇔ – 10a+ 25 = 0 ⇔
+ Với a = 15 thì b = 5- 15 = – 10 < 0 loại.
+ Với a = 3 thì b = 5 – 3 = 2
Vậy phương trình cần tìm là: = 1
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip
- Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện
- Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip
- Các dạng bài tập khác về đường Elip
Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
