Bài viết Cách chứng minh một số là số vô tỉ lớp 7 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh một số là số vô tỉ.
Cách chứng minh một số là số vô tỉ lớp 7 (cực hay, chi tiết)
(199k) Xem Khóa học Toán 7 KNTTXem Khóa học Toán 7 CTSTXem Khóa học Toán 7 CD
A. Phương pháp giải
Dùng phương pháp phản chứng.
Để chứng minh a là số vô tỉ, ta thực hiện qua các bước sau:
– Bước 1: Giả sử a là số hữu tỉ.
– Bước 2: Lập luận và sử dụng các tính chất đã biết về lũy thừa, chia hết,… để đi tới mẫu thuẫn với giả thiết hoặc đi tới điều vô lí.
– Bước 3: Kết luận.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh là số vô tỉ.
Lời giải:
Giả sử là số hữu tỉ
Do đó tồn tại hai số nguyên a và b với b ≠ 0 sao cho
Như vậy có thể được viết dưới dạng phân số tối giản với a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
Suy ra a2 là số chính phương chẵn ⇒ a là số chẵn (số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn, số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ).
Do đó tồn tại 1 số k thỏa mãn a = 2k ⇒ a2 = (2k)2 = 4k2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 2b2 = 4k2 ⇒ b2 = 4k2:2 = 2k2
Suy ra b2 là số chính phương chẵn nên b là số chẵn
Mà a cũng là số chẵn
Nên phân số không phải phân số tối giản, mâu thuẫn
Vậy giả sử sai, do đó là số vô tỉ (đpcm).
Ví dụ 2: Chứng minh là số vô tỉ.
Lời giải:
Giả sử là số hữu tỉ, tức (m, n ∈ Z, n ≠ 0, (m, n) = 1)
Suy ra
Do đó m2⋮3, mà 3 là số nguyên tố nên m⋮3
⇒ m = 3k ⇒ m2 = (3k)2 = 9k2, thay vào (1) ta được: 9k2 = 3n2
⇒ n2 = 3k2, suy ra n2 ⋮ 3 ⇒ n ⋮ 7 (vì 7 là số nguyên tố)
Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, mâu thuẫn với giả thiết (m, n) = 1
Nên giả sử sai.
Vậy là số vô tỉ. (đpcm)
C. Bài tập vận dụng
Câu 1. Chứng minh là số vô tỉ.
Lời giải:
Giả sử là số hữu tỉ là phân số tối giản, m; n ∈ Z, m ≠ 0)
Điều này chứng tỏ m2 ⋮ 7 mà 7 là số nguyên tố nên m ⋮ 7
Đặt m = 7k (k ∈ Z), suy ra m2 = (7k)2 = 49k2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 7n2 = 49k2 ⇒ n2 = 7k2
⇒ n2 ⋮ 7 ⇒ n ⋮ 7 (vì 7 là số nguyên tố)
Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, vậy không phải phân số tối giản, mâu thuẫn.
Vậy giả sử sai nên là số vô tỉ (đpcm).
Câu 2. Chứng minh tổng quát rằng: Nếu số tự nhiên a không phải số chính phương thì là số vô tỉ.
Lời giải:
Giả sử là số hữu tỉ, nên có thể viết dưới dạng phân số tối giản
D. a không phải số chính phương, nên không phải số tự nhiên, nên n > 1
Giả sử p là một ước nguyên tố của n (vì n > 1, nên tồn tại các ước nguyên tố của n), suy ra n2 ⋮ p ⇒ m2 ⋮ p ⇒ m ⋮ p
Do đó m và n đều cùng chia hết cho số p
Mà m và n là hai số nguyên tố cùng nhau ((m, n) = 1), dẫn đến mâu thuẫn
Vậy phải là số vô tỉ (đpcm).
Câu 3. Chứng minh rằng là số vô tỉ.
Lời giải:
Giả sử = m (với m là số hữu tỉ)
Suy ra
Vì m là số hữu tỉ nên m2 là số hữu tỉ, do đó m2 – 1 cũng là số hữu tỉ
Suy ra là số hữu tỉ (vô lý vì là số vô tỉ (ví dụ 1)).
Giả sử sai
Câu 4. Chứng minh rằng (m, n là số hữu tỉ, n ≠ 0) là số vô tỉ.
Lời giải:
Vì a, m, n là số hữu tỉ nên a – m là số hữu tỉ
Do đó (a – m).n là số hữu tỉ
Suy ra là số hữu tỉ, vô lý (vì là số vô tỉ, đã chứng minh ở ví dụ 2)
Câu 5. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
Lời giải:
Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c.
Ta có: a + b = c b = c – a
Vì c và a số hữu tỉ nên hiệu c – a cũng là số hữu tỉ, mà c – a = b với b là số vô tỉ, vô lý.
Vậy c phải là số vô tỉ (đpcm).
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Chứng minh 3 là số vô tỉ.
Bài 2. Chứng minh 1+2 là số vô tỉ.
Bài 3. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?
Bài 4. Xem xét các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:
a) ab và ab là số vô tỉ;
b) a + b và ab là số hữu tỉ (a + b ≠ 0).
Bài 5. Chứng minh rằng hiệu của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
(199k) Xem Khóa học Toán 7 KNTTXem Khóa học Toán 7 CTSTXem Khóa học Toán 7 CD
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Cách tìm điều kiện xác định của biểu thức dưới dấu căn cực hay, chi tiết
- Cách giải bài tập về các tập hợp số cực hay, chi tiết
- Cách so sánh, sắp xếp số thực lớp 7 cực hay, chi tiết
- Cách tính giá trị biểu thức số thực cực hay, chi tiết
Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:
- Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều
