Bài viết Đa giác, đa giác lồi, đa giác đều và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.
Đa giác, đa giác lồi, đa giác đều và cách giải bài tập
(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTTXem Khóa học Toán 8 CTSTXem Khóa học Toán 8 CD
I. Lý thuyết
1. Đa giác
– Đa giác A1A2…An là hình gồm n đoạn thẳng A1A2; A2A3; …; AnA1 trong đó không có bất kỳ hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cùng nằm trên một đường thẳng.
Hình a Hình b
Hình a là đa giác ABCDEF là hình gồm 6 cạnh hay còn gọi là lục giác
Hình b là đa giác GHIJK là hình gồm 5 cạnh hay còn gọi là ngũ giác
– Đa giác có n đỉnh gọi là hình n – giác hay hình n cạnh.
– Đường chéo của đa giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác đó.
– Số đường chéo của đa giác được tính theo công thức:
nn−32 với n là số đỉnh của đa giác và n > 3
– Tổng số đo các góc trong một hình n – giác là:
n−2.180° với n là số đỉnh, n > 2
2. Đa giác lồi
Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trên nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng chứa một cạnh bất kỳ của đa giác.
Đa giác ABCDEF là một đa giác lồi do đa giác luôn nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là một đường thẳng chứa một cạnh bất kỳ của đa giác.
Đa giác GHIJK không phải đa giác lồi vì đa giác không nằm hoàn toàn trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh JK.
Chú ý: Từ nay, khi nói đến đa giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là đa giác lồi.
3. Đa giác đều
– Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Số đo mỗi góc trong đa giác đều n đỉnh được tính theo công thức:
n−2.180°n với n là số đỉnh, n > 2.
II. Dạng bài tập
Dạng 1: Nhận dạng đa giác, đa giác lồi, đa giác đều
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa về đa giác, đa giác đều, đa giác lồi.
Ví dụ 1: Cho ngũ giác ABCDE. Kẻ các đường chéo AC và AD. Kể tên các đa giác có trong hình vẽ
Lời giải:
Các đa giác có trong hình vẽ là:
Tam giác ABC; ACD; ADE
Tứ giác ABCD; ACDE
Ngũ giác là ABCDE
Ví dụ 2: Cho các hình vẽ sau
Giải thích tại sao hai đa giác trên không phải đa giác lồi
Lời giải:
Đa giác ABCDE không phải đa giác lồi vì đa giác không nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh DC.
Đa giác GIJKLH không phải đa giác lồi vì đa giác không nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh LK.
Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD có A^=60°. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh MBNPDQ là lục giác đều.
Lời giải:
Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA
Lại có M là trung điểm của AB ⇒BM=AM=12AB
N là trung điểm của BC ⇒CN=NB=12BC
P là trung điểm của CD ⇒PC=PD=12DC
Q là trung điểm của AD ⇒AQ=QD=12AD
Do đó: AM = BM = CN = NB = CP = PD = AQ = QD (1)
Xét tam giác AQM có:
AQ=AMQAM^=60°
⇒ΔAQM là tam giác đều
⇒AM=MQ (2)
Do ABCD là hình thoi
⇒QAM^=NCP^=60° (tính chất)
Xét tam giác CPN có
CP=CNNCP^=60°
⇒ΔCPN là tam giác đều
⇒CN=PN (3)
Từ (1); (2); (3) ⇒ BM = BN = NP = PD = DQ = QM (*)
Xét hình thoi ABCD có
A^=C^=60°⇒B^=D^=120°(4)
Ta có: AMQ^ và BMQ^ là hai góc kề bù
⇒BMQ^+AMQ^=180°
Mà AMQ^=60° do tam giác AMQ đều
⇒BMQ^+60°=180°
⇒BMQ^=120° (5)
Chứng minh tương tự ta được các góc DQM^=BNP^=DPN^=120° (6)
Từ (4); (5); (6)
⇒B^=D^=BMQ^=DQM^=BNP^=DPN^=120°(**)
Xét lục giác MBNPDQ có:
BM = BN = NP = PD = DQ = QM (theo (*))
B^=D^=BMQ^=DQM^=BNP^=DPN^=120° (theo (**))
Vậy lục giác MBNPDQ là lục gác đều.
Dạng 2: Tính góc và số đường chéo của đa giác
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức về tính góc và đường chéo của đa giác
– Số đường chéo của đa giác được tính theo công thức:
nn−32 với n là số đỉnh của đa giác và n > 3
– Tổng số đo các góc trong một hình n – giác là:
n−2.180° với n là số đỉnh, n > 2
Số đo mỗi góc trong đa giác đều n đỉnh được tính theo công thức:
n−2.180°n với n là số đỉnh
Ví dụ 1: Tính số đường chéo của một hình lục giác.
Lời giải:
Vì lục giác là hình có 6 đỉnh nên áp dụng công thức tính số đường chéo của đa giác ta có:
Số đường chéo của hình lục giác là:
nn−32=66−32=9 (đường chéo)
Ví dụ 2: Một đa giác đều có n cạnh. Mỗi góc của nó bằng 156°. Tính số cạnh của đa giác đó.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính số đo mỗi giác trong đa giác đều ta có:
n−2180°n=156°
⇔n−2180°=n156°
⇔n.180°−360°=n.156°
⇔n.180°−n.156°=360°
⇔n180°−156°=360°
⇔n.24°=360°
⇔n=360°:24°
⇔n=15
Vậy đa giác đều này có 15 cạnh.
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hình lục giác ABCDEF. Kẻ các đường chéo AC, AD, AE. Kể tên các đa giác có trong hình.
Bài 2: Tính tổng số đo các góc của một đa giác có 12 cạnh.
Bài 3: Tính số đường chéo của một bát giác.
Bài 4: Đa giác có 14 đường chéo thì có bao nhiêu cạnh.
Bài 5: Chứng minh trung điểm các cạnh của một ngũ giác đều là các đỉnh của một ngũ giác đều.
Bài 6: Mỗi góc của một đa giác đều n cạnh có số đo là 144°. Tính n.
Bài 7: Tính tổng các góc ngoài của một ngũ giác.
Bài 8: Chứng minh tổng số đo các góc ngoài của một đa gíac lồi là 360°.
Bài 9: Cho ngũ giác đều ABCDE, hai đường chéo AC và BE cắt nhau tại điểm K. Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân và CDEK là hình thoi.
Bài 10: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABEF, BCIJ và CAGH sao cho AF = BJ = CH = x.
a) Chứng minh: JEF^=EFG^=FGH^=GHI^=HIJ^=IJE^;
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x2 và a2 để hình lục giác EFGHIJ là lục giác đều.
IV. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính số đường chéo của các đa giác đều có số cạnh lần lượt là: 8; 9; 10.
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD. Các điểm E, F, G, H là trung điểm của các cạnh của hình chữ nhật. Tìm điều kiện của hình chữ nhật ABCD để các điểm E, F, G, H trở thành các đỉnh của một tứ giác đều.
Bài 3. Cho một đa giác lồi gồm n cạnh. Tìm công thức tính số đường chéo của đa giác ấy. Tính số đường chéo của đa giác khi n = 9.
Bài 4. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F là trung điểm của các cạnh của tam giác. Tìm điều kiện của tam giác ABC sao cho D, E, F tạo thành một tam giác đều.
Bài 5. Cho hình thoi ABCD. Các điểm E, F, G, H là trung điểm của các cạnh của hình thoi. Tìm điều kiện của hình thoi ABCD sao cho E, F, G, H tạo thành một đa giác đều.
(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTTXem Khóa học Toán 8 CTSTXem Khóa học Toán 8 CD
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Diện tích hình chữ nhật và cách giải bài tập
- Diện tích tam giác và cách giải bài tập
- Diện tích hình thang và cách giải bài tập
- Diện tích hình thoi và cách giải bài tập
- Diện tích đa giác và cách giải bài tập
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
- Giải bài tập Toán 8
- Giải sách bài tập Toán 8
- Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án
