Bất phương trình toán học là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 10 và lớp 11. Một dạng bài tập thường gặp là tìm m để bất phương trình có nghiệm, nơi người học cần xác định giá trị của tham số mmm sao cho bất phương trình có ít nhất một nghiệm thực. Đây là một dạng toán giúp học sinh phát triển kỹ năng giải quyết các bài toán phương trình, bất phương trình và rèn luyện tư duy logic.
Tìm m để bất phương trình có nghiệm môn Toán lớp 10 vừa được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng phân tích các phương pháp giải quyết bài toán tìm m, cách xác định điều kiện để bất phương trình có nghiệm, đồng thời làm quen với các ví dụ minh họa cụ thể để áp dụng vào bài tập. Bài viết được tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!
Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.
Tìm m để bất phương trình có nghiệm
I. Bài tập tham khảo có hướng dẫn
Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 – 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1].
Hướng dẫn giải:
Đặt x2 – 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0
Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn:
Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.
Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x2 – 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Xét 3 trường hợp:
Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:
(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1
Bất phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: Với m < -2
Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm
Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :
Vậy với |m| < thì bất phương trình có nghiệm.
Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4.
Hướng dẫn giải:
Bất phương trình tương đương với: m2x – mx < 4 ⇔ (m2 – m)x < 1; m2 – m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .
Nên bất phương trình có vô số nghiệm.
Với m2 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành luôn có nghiệm là
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.
Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2 + 1)x2 + (2m – 1)x – 5 < 0. Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)
Hướng dẫn giải:
Ta có:
⇔ -1 ≤ m ≤ – 1
Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; – 1)
Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x2 – 2mx + 2m – 6 < 0.
Hướng dẫn giải:
+ Với m = – 4 thì bất phương trình trở thành: 8x – 14 < 0, ∀x (loại)
+ Với
Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.
Bài 6: Cho bất phương trình: x2 + 4x + 3 + m ≤ 0
a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.
b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.
c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.
Hướng dẫn giải
a. Bất phương trình vô nghiệm
⇔ Δ’ < 0 ⇔ 1 – m < 0 ⇔ m > 1
Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.
b. Bất phương trình có đúng một nghiệm.
⇔ Δ’ = 0 ⇔ 1 – m = 0 ⇔ m = 1
Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm
c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện:
Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.
Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x4 + 2mx2 + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.
Hướng dẫn giải
Đặt t = x2, t ≥ 0
Khi đó bất phương trình trở thành:
f(t) = t2 +2mt + m ≥ 0 (*)
⇒Δ’ = m2 – m
Trường hợp 1: Δ’ ≤ 0 ⇔ m2 – m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1
Khi đó (*) luôn đúng.
Trường hợp 2: Nếu Δ’ > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t1 < t2 ≤ 0
Tóm lại ta cần suy ra như sau:
Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.
Bài 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
Xét
Với , bất phương trình trở thành : không thỏa mãn.
Với , bất phương trình trở thành : vô nghiệm.
Do đó thỏa mãn.
Xét . Yêu cầu bài toán
Kết hợp hai trường hợp, ta được hoặc .
Bài 9. Tìm các giá trị của để các biểu thức sau luôn âm:
a.
b.
Hướng dẫn giải
a. Với thì lấy cả giá trị dương (chẳng hạn ) nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Với thì là tam thức bậc hai do đó
Vậy với thì biểu thức luôn âm.
b. Với thì thỏa mãn yêu cầu bài toán
Với thì là tam thức bậc hai dó đó
Vậy với thì biểu thức luôn âm.
Bài 10. Tìm m để không dương.
Hướng dẫn giải
Xét
+) (không thỏa mãn yêu cầu bài toán)
+) (không thỏa mãn)
Xét
Bài 11. Tìm các giá trị của để biểu thức sau luôn dương
Hướng dẫn giải
Tam thức có
suy ra
Do đó luôn dương khi và chỉ khi luôn âm
Vậy với thì biểu thức luôn dương.
Bài 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình có tập nghiệm là .
Hướng dẫn giải
Xét hoặc
Khi thì bất phương trình trở thành nên không có nghiệm đúng với mọi .
hi thì bất phương trình trở thành nên có nghiệm đúng với mọi .
Khi thì yêu cầu bài toán
Kết hợp hai trường hợp ta được là giá trị cần tìm.
Bài 13: Phương trình ( là tham số) có nghiệm khi
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Xét phương trình có
Yêu cầu bài toán
là giá trị cần tìm.
Bài 14: Phương trình :
A. Luôn có hai nghiệm với mọi giá trị .
B. Vô nghiệm với mọi giá trị .
C. Luôn có nghiệm với mọi giá trị .
D. Luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị .
Hướng dẫn giải
Với phương trình trở thành suy ra phương trình có nghiệm
Với , ta có
Vì tam thức có nên với mọi
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi .
Bài 15: Cho bất phương trình: . Để bất phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số là:
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
có nghiệm khi và chỉ khi
Bài 16: Tìm để bất phương trình c ó nghiệm?
A. Với mọi . B. Không có . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi luôn đúng với .
Bài 17: Cho hệ bất phương trình . Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có .
Trường hợp 1: , bất phương trình hai trở thành;
, mà
Suy ra .
Trường hợp 2: , bất phương trình hai trở thành;
, mà
Suy ra .
Vậy thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.
II. Bài tập tự rèn luyện củng cố kiến thức
Bài 1: Cho tam thức f(x) = x2 – 2mx + 3m – 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] .
Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx2 – 4x + 3m + 1 >0
Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x2 – 2x + 1 – m2 ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2].
Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m – 1)x2 + (2 – m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).
Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m – 2)x2 + 2(m + 1)x + m – 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 3).
Bài 6: Tìm m để bất phương trình m2 – 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).
Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x2 + (m – 1)x – m ≤ 0
đều là nghiệm của bất phương trình.
Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m – 2)x2 + 2mx – 2 – m < 0 có nghiệm
Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình: f(x) = – (m2 + 2)x2 – 2mx + 1 – m > 0
Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)
Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx2 – (1 – 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0).
–
Việc tìm m để bất phương trình có nghiệm là một kỹ năng quan trọng, không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức về bất phương trình mà còn phát triển tư duy phân tích và lập luận trong Toán học. Hãy nhớ rằng mỗi bài toán đều có cách tiếp cận riêng, và việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự trong kỳ thi. Chúc bạn thành công trong việc áp dụng các phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm vào các bài toán thực tế, đồng thời phát triển khả năng giải toán hiệu quả.
