Tính Góc giữa mặt bên và mặt đáy – bài tập có đáp án chi tiết
Phương pháp xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy
Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC).
Dựng đường cao $SHbot left( ABC right)$, dựng $HEbot AB.$
Khi đó $ABbot left( SEH right)Rightarrow widehat{left( left( SAB right);left( ABC right) right)}=widehat{SEH}.$
Bài tập góc giữa mặt bên và mặt đáy có đáp án
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có $SAbot left( ABCD right)$, đáy là hình chữ nhật ABCD với $AB=a;AD=asqrt{3}.$ Biết rằng mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc $60{}^circ .$
a) Tính cosin góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD).
b) Tính tan góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD).
Lời giải chi tiết
a) Do $left{ begin{array} {} CDbot SA {} CDbot D end{array} right.Rightarrow CDbot left( SDA right)$ do đó góc giữa mặt phẳng (SCD) và đáy là $widehat{SDA}=60{}^circ $
Suy ra $SA=ADtan 60{}^circ =3a.$
Do $left{ begin{array} {} BCbot SA {} BCbot AB end{array} right.Rightarrow BCbot left( SBA right)Rightarrow widehat{left( left( SBC right);left( ABC right) right)}=widehat{SBA}$
Mặt khác $cos widehat{SBA}=frac{AB}{SB}=frac{AB}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=frac{a}{sqrt{9{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{10}}.$
Vậy $cos widehat{left( left( SBC right);left( ABC right) right)}=frac{1}{sqrt{10}}.$
b) Dựng $AHbot BDRightarrow BDbot left( SHA right)Rightarrow widehat{left( left( ABD right);left( ABC right) right)}=widehat{SHA}$
Lại có: $AH=frac{AB.AD}{sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{asqrt{3}}{2}.$
Suy ra $tan widehat{left( left( SBD right);left( ABCD right) right)}=tan widehat{SHA}=frac{SA}{AH}=2sqrt{3}.$
Bài tập 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có $AB=asqrt{3};BC=a$, tam giác SAC là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng SB tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Tính góc $widehat{left( left( SBC right);left( ABC right) right)}.$ Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của AC, do tam giác SAC cân nên ta có:
$SHbot AC.$ Mặt khác $left( SAC right)bot left( ABCD right)$ nên $SHbot left( ABC right).$
Khi đó: $widehat{left( SB;left( ABC right) right)}=widehat{SBH}=60{}^circ .$
Ta có: $AC=sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2aRightarrow BH=frac{1}{2}AC=a.$
Khi đó: $SH=atan 60{}^circ =asqrt{3}.$
Dựng $HKbot BCRightarrow BCbot left( SHK right).$
$Rightarrow widehat{SKH}=widehat{left( left( SBC right);left( ABC right) right)}$, trong đó ta có: $HK=frac{AB}{2}=frac{asqrt{3}}{2};$
$SH=asqrt{3}Rightarrow cos widehat{SKH}=frac{1}{sqrt{5}}.$
Vậy $widehat{left( left( SBC right);left( ABC right) right)}=varphi $ với $cos varphi =frac{1}{sqrt{5}}.$
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có $AB=2a$ và góc $widehat{BAD}=120{}^circ $. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I của hai đường chéo và $SI=frac{a}{2}$. Tính góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD). Lời giải chi tiết
Gọi $varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB.
Ta có: $left{ begin{array} {} ABbot HI {} ABbot SI end{array} right.Rightarrow ABbot left( SHI right).$
Do đó $varphi =widehat{left( SH;IH right)}=widehat{SHI}.$
Do $widehat{BAD}=120{}^circ Rightarrow widehat{BAI}=60{}^circ Rightarrow Delta ABC$ đều cạnh 2a nên $IA=aRightarrow IH=IAsin widehat{IAB}=IAsin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{2}.$
Do đó $tan varphi =frac{SI}{IH}=frac{1}{sqrt{3}}Rightarrow varphi =30{}^circ .$
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có $AD=2a$ và $AB=BC=a$. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy (ABCD) một góc 60°. Tính tan góc tạo bởi mặt phẳng (SCD) và (SBD) với mặt phẳng (ABCD). Lời giải chi tiết
Ta có: $left{ begin{array} {} BCbot AB {} BCbot SA end{array} right.Rightarrow BCbot left( SBA right).$
Khi đó: $widehat{left( left( SBC right);left( ABCD right) right)}=widehat{SBA}=60{}^circ $
$Rightarrow SA=ABtan 60{}^circ =asqrt{3}.$
Gọi I là trung điểm của AD $Rightarrow $ ABCI là hình vuông cạnh a $Rightarrow CI=a=frac{1}{2}ADRightarrow Delta ACD$ vuông tại C.
Ta có: $left{ begin{array} {} CDbot AC {} CDbot SA end{array} right.Rightarrow CDbot left( SCA right).$
Do đó $widehat{left( left( SCD right);left( ABCD right) right)}=widehat{left( SC;AC right)}=widehat{SCA}$ và $tan widehat{SCA}=frac{SA}{AC}=frac{asqrt{3}}{sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=sqrt{frac{3}{2}}=frac{sqrt{6}}{2}.$
Dựng $AEbot BD$, lại có $BDbot SARightarrow BDbot left( SEA right)Rightarrow widehat{left( left( SBD right);left( ABCD right) right)}=widehat{SEA}.$
Ta có: $AE=frac{AB.AD}{sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{5}}Rightarrow tan widehat{SEA}=frac{SA}{AE}=frac{sqrt{15}}{2}.$
Bài tập 5: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của ${A}’$ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng ${A}’C$ và mặt đáy (ABC) bằng $60{}^circ $. Tính cosin góc giữa mặt phẳng $left( {A}’AC right)$ và mặt đáy (ABC). Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm cạnh AB ta có: ${A}’Hbot left( ABC right)$
Do đó $widehat{{A}’CH}=60{}^circ .$ Lại có: $CH=ACsin 60{}^circ =asqrt{3}$
$Rightarrow {A}’H=CHtan 60{}^circ =3a.$
Dựng $HKbot AC$ ta có ${A}’Hbot ACRightarrow left( {A}’HK right)bot AC.$
Khi đó: $HK=HAsin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{2}.$
Ta có: $cos widehat{{A}’KH}=frac{HK}{sqrt{H{{K}^{2}}+{A}'{{H}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{13}}>0.$
Do vậy $cos widehat{left( left( {A}’AC right);left( ABC right) right)}=frac{1}{sqrt{13}}.$
