Cực trị của hàm số là một trong những chuyên đề quan trọng trong chương trình toán học THPT. Đặc biệt đây cũng là dạng toán xuất hiện khá nhiều trong đề thi THPTQG môn toán. Trong bài viết này, hãy cùng Cmath tổng hợp các lý thuyết về cực trị, tìm hiểu và nắm chắc cực trị là gì và có những cách tìm cực trị của hàm số như thế nào nhé.
Khái niệm về cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng ( a, b ) và x0 ( a, b ):
- Tồn tại một số h > 0 sao cho f(x) < f( x0) , với x ( x0-h; x0+h ), x x0. Khi đó ta nói hàm số f đạt cực đại tại x0.
x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f
f( x0 ) là giá trị cực đại của hàm số f
Điểm M ( x0; f( x0) ) là điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f(x)
- Tồn tại một số h > 0 sao cho f(x) > f( x0) , với x ( x0-h; x0+h ), x x0. Khi đó ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f
f( x0 ) là giá trị cực tiểu của hàm số f
Điểm M ( x0; f( x0) ) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x)
Lưu ý:
- Trên tập hợp K, hàm số có thể đạt nhiều cực đại hoặc cực tiểu. Điểm cực đại hoặc cực tiểu x0 của hàm số sẽ được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại hoặc cực tiểu f( x0) của hàm số sẽ được gọi chung là cực trị.
- f( x0) chỉ là giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên một khoảng ( a, b ) có chứa x0. Giá trị cực đại hoặc cực tiểu f( x0) không phải là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số trên tập K.
- Nếu hàm số y = f(x) có đại hàm trên khoảng ( a, b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì khi đó, f’ ( x0 ) = 0
Điều kiện cần và đủ để có cực trị hàm số
Điều kiện cần và đủ để có cực trị hàm số dựa vào các định lý sau:
Định lý 1: ( điều kiện cần để có cực trị hàm số )
Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng K = ( x0-h; x0+h ) ( h>0), và f(x) có đạo hàm trên khoảng K hoặc K { x0 }
- Nếu f’(x) > 0 | ( x0-h; x0 )
f’(x) < 0 | ( x0; x0+h )
thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số.
- Nếu f’(x) < 0 | ( x0-h; x0 )
f’(x) > 0 | ( x0; x0+h )
thì x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.
Hay có thể hiểu đơn giản rằng, khi đi từ trái qua phải, ta có:
- x0 là điểm cực đại khi f’(x) đổi dấu từ – sang + khi đi qua x0
- x0 là điểm cực tiểu khi f’(x) đổi dấu từ + sang – khi đi qua x0
Định lý 2: ( điều kiện đủ để hàm số có cực trị )
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = ( x0-h; x0+h ) với h > 0.
- Nếu f’( x0) = 0 và f’’( x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f
- Nếu f’( x0) = 0 và f’’( x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f
Định lý 3: ( định lý mở rộng )
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng ( a, b), x0 ( a, b)
f’( x0)=0 và tại điểm x0, f có đạo hàm cấp hai khác 0.
- f’’( x0) < 0, ta nói hàm số f đạt cực đại tại điểm x0
- f’’( x0) > 0, ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0
- f’’( x0) = 0, ta phải tiến hành lập bảng xét dấu đạo hàm hoặc lập bảng biến thiên.
Dưới đây là hướng dẫn cách tìm cực trị của hàm số nhanh, đơn giản, chính xác.
Các quy tắc áp dụng để tìm cực trị của hàm số
Cách 1: áp dụng quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
Bước 2: Tính f’(x). Tìm các điểm sao cho tại f’(x) không xác định hoặc f’(x) = 0
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ bảng biến thiên đã lập suy ra được các điểm cực trị của hàm số
Cách 2: áp dụng quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
Bước 2: Tính f’(x). Cho f’(x) = 0, giải phương trình để tìm ra các nghiệm xi
Bước 3: Tính f’’(x) và f’’(xi). Từ đó, ta suy ra được tính chất cực trị của các điểm xi.
Lưu ý: Nếu f’’(xi) = 0 thì ta tiếp tục áp dụng quy tắc 1 để xét cực trị tại xi
Các dạng bài tập và ví dụ cơ bản thường gặp về tìm cực trị của hàm số
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp giải:
Áp dụng các quy tắc tương ứng với 2 cách tìm cực trị của hàm số đã nêu trên.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số y = x3-3×2 + 2
Lời giải:
Ta có: y’ = 3×2 – 6x = 0 ⬄ x = 0
x = 2
Lại có: y’’ = 6x – 6
y’’(0) = – 6 < 0; y’’(2) = 6 > 0
Vậy, hàm số y = x3-3×2 + 2 đạt cực đại tại x = 0 cực tiểu tại x = 2.
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm
Cho hàm số y = f( x, m). Tìm m để tại điểm M ( x0, y0 ) hàm số đạt cực trị
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số đã cho
Bước 2: Do hàm số đạt cực trị tại điểm M ( x0, y0 ) nên ta có hệ phương trình:
y’( x0 ) = 0
f ( x0, m ) = y0
Giải hệ phương trình, ta tìm được giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3-mx2 + ( 2m – 3)x – 3 đạt cực đại tại điểm x = 1
Lời giải:
Ta có: y’ = 3×2 – 2mx + 2m – 3; y’’ = 6x – 2m
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 khi và chỉ khi:
y’(1) = 3 – 2m + 2m – 3 = 0
y’’(1) = 6 – 2m < 0
=> m > 3
Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số
Phương pháp giải:
Cho hàm số: y = ax3+ bx2 + cx + d
Tính đạo hàm: y’ = 3ax2 + 2bx + c
Δ’ = b2 – 3ac
Xét phương trình: 3ax2 + 2bx + c = 0 (1)
Nếu phương trình (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số đã cho không có cực trị. Hàm số bậc 3 không có cực trị khi và chỉ khi Δ’ = b2 – 3ac 0
Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi Δ’ = b2 – 3ac > 0
* Tìm cực trị của hàm số trùng phương:
Cho hàm số y = ax4+ bx2 + c
Tính đạo hàm: y’ = 4ax3+2bx = 2x( 2ax2 + b) = 0
⬄ x = 0
2ax2 + b = 0 ( 2)
Để đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm duy nhất là x = 0 hoặc phương trình (2) nhận x = 0 là nghiệm
⬄ – b2a 0
ab 0
Đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
⬄ – b2a > 0 ⬄ ab < 0
Ví dụ: Cho hàm số y = (m – 1)x3 – 3×2 – (m + 1)x + 3m2 – m + 2. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Lời giải:
Ta có: y’ = 3(m – 1) x2 – 6x – m – 1
Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt:
m – 1 0
Δ’ = 9 + 3(m – 1)( – m – 1) > 0
⬄ m 1
9 + 3( m2 – 1) > 0
=> m 1
Kết luận:
Trên đây là tổng hợp những kiến thức để giải đáp cho các bạn học sinh về lý thuyết xoay quanh cực trị của hàm số là gì, cách tìm cực trị của hàm số, những dạng bài tập cực trị cơ bản thường gặp. Hy vọng, qua bài viết này, Cmath sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để các bạn học sinh ôn tập, là hành trang chuẩn bị kỹ lưỡng cho các kỳ thi quan trọng sắp tới.
>>> Tham khảo thêm:
Đồ thị hàm số bậc 3 – Kiến thức cực kỳ quan trọng trong Toán học
Hàm số bậc 2 là gì? Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 2
Hàm số lũy thừa – Bài tập vận dụng về hàm số lũy thừa
THÔNG TIN LIÊN HỆ
- CMath Education – Câu lạc bộ toán học muôn màu
- Nhà liền kề NTT06 – 82 Nguyễn Tuân – Thanh Xuân (Sau khu chung cư Thống Nhất Complex)
- Hotline: 0973872184 – 0834570092
- Email: clbcmath@gmail.com
- FB: fb.com/clbtoanhocmuonmau
- Website: cmath.vn
