Chúng ta đã tìm hiểu khái niệm và các kiến thức liên quan đến hình thang và hình thang vuông trong bài học trước. Vậy hình thang cân là gì và nó có những tính chất và đặc điểm nào khác so với hình thang và hình thang vuông? Bài viết này VOH Giáo Dục sẽ trình bày cho các em những kiến thức trọng tâm liên quan đến hình thang cân, cùng một số dạng toán hay liên quan đến vấn đề này.
1. Hình thang cân là gì?
Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Cụ thể: Cho hình thang BCDE, có BC // DE và (hay ). Khi đó ta nói hình thang BCDE là một hình thang cân.
Chú ý: Nếu tứ giác BCDE là hình thang cân có hai đáy BC và DE thì ta có và .
2. Tính chất của hình thang cân
Sau đây là một số tính chất của hình thang cân:
1. Trong một hình thang cân, hai cạnh bên của nó bằng nhau.
2. Trong một hình thang cân, hai đường chéo của nó bằng nhau.
Chứng minh
1) Xét hình thang cân BCDE có BC // DE.
Giả sử BC < DE, BC và DE kéo dài cắt nhau tại điểm I.
Vì BCDE là hình thang cân, do đó và .
Xét tam giác IED có: , do đó tam giác IED cân.
Suy ra IE = ID. (*)
Vì nên .
Xét tam giác IBC có: , do đó tam giác IBC cân.
Suy ra IB = IC. (**)
Từ (*) và (**), ta được: IE – IB = ID – IC hay BE = CD.
Vậy BE = CD.
2) Xét hình thang cân BCDE có BC // DE.
Vì BCDE là hình thang cân, do đó BE = CD (chứng minh trên).
Xét tam giác BED và tam giác CDE, ta có:
– BE = CD
– (hai góc kề một đáy của hình thang cân)
– Cạnh ED chung.
Ta được: Tam giác BED bằng tam giác CDE (c.g.c).
Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng).
3. Các dấu hiệu nhận biết hình thang cân
Có hai dấu hiệu nhận biết hình thang cân như sau:
- Hình thang có hai góc kề một trong hai đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì là hình thang cân.
» Xem thêm:
- Các dấu hiệu nhận biết hình thang cân chi tiết A-Z
- Cách tính diện tích hình thang cân cực đơn giản
4. Một số dạng bài tập về hình thang cân lớp 8
4.1. Dạng 1: Bài toán nhận biết hình thang cân
*Phương pháp giải:
Dựa vào các dấu hiệu nhận biết hình thang cân ta có thể nhận biết hình thang qua một số cách sau:
- Thực hiện lấy số đo hai góc kề một đáy của hình thang đã cho bằng thước đo độ, nếu số đo của chúng bằng nhau thì ta được một hình thang cân.
- Trên hình thang đã cho ta thực hiện kẻ hai đường chéo. Tiếp tục lấy độ dài hai đường chéo đó bằng thước thẳng, nếu độ dài của chúng bằng nhau ta được một hình thang cân.
Ví dụ 1: Bằng việc quan sát và sử dụng các dấu hiệu nhận biết. Em hãy chỉ ra đâu là hình thang cân trong các tứ giác được cho dưới đây:
ĐÁP ÁN
– Tứ giác EFGH là hình thang do EF // GH (hay EH // FG). Ta xác định số đo của góc E và góc F (hai góc kề đáy EF) bằng thước đo độ, ta được . Khi đó EFGH là hình thang cân.
– Tứ giác MNPQ là hình thang do MN // QP (hay MQ // NP). Ta xác định độ dài của đường chéo MP và đường chéo NQ bằng thước thẳng, ta được MP < NQ. Khi đó MNPQ không là hình thang cân.
– Tứ giác ABCD là hình thang do AD // BC. Ta xác định độ dài của đường chéo BD và đường chéo CA bằng thước thẳng, ta được BD = CA. Khi đó ABCD là hình thang cân.
– Tứ giác OTIK không phải là hình thang do nó không có hai cạnh đối nào song song với nhau. Khi đó tứ giác OTIK không là hình thang cân.
4.2. Dạng 2: Bài toán chứng minh tứ giác là hình thang cân
*Phương pháp giải:
Dựa vào gợi ý của đề bài và dựa vào các dấu hiệu nhận biết hình thang cân ở trên ta có thể chứng minh một tứ giác là hình thang cân.
Ví dụ 2: Cho hình thang BCED có BC // DE. Vẽ tia Dy sao cho Dy // BC. Biết . Hãy chứng minh rằng hình thang BCDE đã cho là một hình thang cân.
ĐÁP ÁN
Vì BCDE là hình thang có BC // DE do đó tổng hai góc kề cạnh bên CD của hình thang BCDE bằng 180o.
Nghĩa là . (1)
Lại có (hai góc kề bù). (2)
Do đó từ (1) và (2) ta được: . (3)
Theo đề bài ta có: . (4)
Nên từ (3) và (4) ta được: , mà là hai góc kề cạnh đáy BC của hình thang BCDE.
Suy ra hình thang BCDE là hình thang cân.
5. Bài tập luyện tập về hình thang cân
Bài 1. Cho hình thang cân XYZT có XY // ZT. Em hãy nối các câu ở cột 1 với các câu ở cột 2 để tạo thành các câu hoàn chỉnh:
Cột 1
Cột 2
1) Hai đường chéo XZ và YT
a) có số đo bằng nhau.
2) Góc X và góc Z
b) có độ dài bằng nhau hoặc khác nhau.
3) Hai cạnh đáy XY và ZT
c) có độ dài bằng nhau.
4) Góc T và góc Z
d) có tổng số đo bằng 180o.
ĐÁP ÁN
(1 – c): Hai đường chéo XZ và YT có độ dài bằng nhau.
(2 – d): Góc X và góc Z có tổng số đo bằng 180 độ. Vì góc Y và góc Z là hai góc cùng kề một cạnh bên của hình thang nên tổng số đo của chúng bằng 180 độ, mà góc X bằng góc Y, nên góc X và góc Z có tổng số đo bằng 180o.
(3 – b): Hai cạnh đáy XY và ZT có độ dài bằng nhau hoặc khác nhau.
(4 – a): Góc T và góc Z có số đo bằng nhau.
Bài 2. Cho hình thang BCDE có BC // DE. Kẻ hai đường chéo BD và CE, biết . Kẻ đường thẳng d qua C sao cho d // BD, kéo dài ED cắt đường thẳng d tại điểm U. Chứng minh rằng BCDE là một hình thang cân.
ĐÁP ÁN
Theo giả thiết d // BD, suy ra CU // BD.
Do BC // DE (giả thiết) nên BC // DU, do đó tứ giác BCUD là hình thang.
Xét hình thang BCUD có cặp cạnh bên BD và CU song song với nhau, do đó chúng bằng nhau.
Nghĩa là BD = CU. (*)
Ta có (do BD // CU).
Vì (theo giả thiết).
Khi đó, ta được , suy ra .
Do đó tam giác CEU cân tại C.
Từ đó ta được CE = CU. (**)
Từ (*) và (**), ta được BD = CE.
Lại có BD và CE chính là hai đường chéo của hình thang BCDE.
Do đó BCDE là hình thang cân.
Bài 3. Dựa vào kiến thức đã học về hình thang cân. Em hãy đưa ra một số ví dụ về hình thang cân mà em đã quan sát được trong cuộc sống thường ngày.
ĐÁP ÁN
(1) Một bên của mái nhà có hình thang cân:
(2) Mặt của một chiếc túi xách có hình thang cân:
Bài viết trên đây đã tổng hợp các kiến thức cơ bản về hình thang cân ở chương trình Toán lớp 8 và giới thiệu các dạng toán liên quan đến phần kiến thức này. Hy vọng các em nắm chắc kiến thức và áp dụng làm bài tập để học tập thật tốt.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
