Cách giải bài toán Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
A. Phương pháp giải
+ Cho đường tròn ( C) tâm I( a;b) bán kính R và đường thẳng d.
Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) khi và chỉ khi : d(I, d)= R
+ Trục tung có phương trình x= 0 nên để đường tròn tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi:
= R hay R = |a|
+ Trục hoành có phương trình y= 0 để đường tròn tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi:
= R hay R = |b|.
+ Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ khi và chỉ khi:
R = |a| = |b|.
Chú ý: Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0 và điểm M(x0; y0) . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d(M; d) =
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 + y2 – 4x + 2my + m2 = 0 (1). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Phương trình ( 1) là phương trình đường tròn, với mọi giá trị của m.
B. Đường tròn (1) luôn tiếp xúc với trục tung.
C. Đường tròn ( 1) tiếp xúc với các trục tọa độ khi và chỉ khi m = 2.
D. Đường tròn (1) có bán kính R = 2.
Hướng dẫn giải
+ Xét x2 + y2 – 4x + 2my + m2 = 0 có a = 2; b = -m và c = m2
⇒ a2 + b2 – c = 4 + m2 – m2 = 4 > 0 với mọi m nên A và D đúng.
+ Vì a = R = 2 nên B đúng.
+ Từ đó suy ra C sai, vì đường tròn tiếp xúc với trục hoành Ox khi và chỉ khi
|b| = |m| = 2 ⇔ m = ±2
Chọn C .
Ví dụ 2: Đường tròn (C) tâm I( 4;3) và tiếp xúc với đườngthẳng ∆: 3x – 4y + 5 = 0 có phương trình là
A. (x – 4)2 + (y – 3) 2 = 2. B. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 1.
C. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4. D. (x – 4)2 + (y – 3)2 = 3
Lời giải
Do đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ bằng bán kính đường tròn .
⇒ (C) có bán kính R = d(I, ∆) = = 1.
Do đó, (C) có phương trình : (x – 4)2 + (y – 3)2 = 1.
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0) . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A. ( C) có bán kính R =
B. ( C) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi b2 = R2.
C. ( C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi a = R.
D. ( C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi b2 = c.
Hướng dẫn giải
Xét phương án C:
( C) tiếp xúc với trục tung Oy khi và chỉ khi: d(I, y’oy) = R ⇔ |a| = R.
Do đó đáp án sai vì nếu a = – 9 ⇒ R = -9 < 0 (vô lý)
Chọn C.
Ví dụ 4: Mệnh đề nào sau đây đúng?Đường tròn (x + 2)2 + (y – 3)2 = 9 tiếp xúc với trục tung.Đường tròn (x – 3)2 + (y + 3)2 = 9 tiếp xúc với các trục tọa độ.
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả (I) và (II). D. Không có.
Hướng dẫn giải
+ Xét đường tròn : (x + 2)2 + ( y – 3)2 = 9 có a = -2; b = 3 và R = 3
Vì |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với trục hoành Ox nên ( I) sai.
+ Xét đường tròn: ( x – 3)2 + (y + 3)2 = 9 có a = 3; b = -3 và R = 3
Vì |a| = |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên (II) đúng.
Chọn B.
Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d): 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn x2 + y2 – 9 = 0 ?
A. m = ±15 B. m = ±√3 C. m = – 3 D. m = 3
Hướng dẫn giải
Đường tròn x2 + y2 – 9 = 0 có tâm I (0; 0) và bán kính R = 3.
Khoảng cách từ tâm I(0; 0) đến đường thẳng (d) là
d(I; d) =
Để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi: d(I;d)= R
⇔ = 3 ⇔ |m| = 15 nên m = ± 15
Chọn A.
Ví dụ 6: Đường tròn có tâm O và tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – 4√2 = 0 . Hỏi bán kính của đường tròn bằng bao nhiêu?
A. 4√2 B. 4 C. 2 D. 8
Hướng dẫn giải
Khoảng cách từ tâm O(0; 0) đến đường thẳng (d) là
d(O; d) = = 4
Để đường tròn tâm O tiếp xúc với đường thẳng d thì khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d bằng bán kính R.
⇒ Bán kính đường tròn ( C): R = 4.
Chọn B.
Ví dụ 7: Nếu đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 3)2 = R2 tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y – 60 = 0 thì giá trị của R là:
A. 2√2 B. C. √5 D. √2
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 3)2 = R2 có tâm I (1; 3) bán kính R.
Đường thẳng d: 5x + 12y – 60 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) khi
R = d( I; d) = =
Chọn B.
Ví du 8. Đường tròn (C) có tâm I( 2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng(d): 6x – 8y + 22 = 0 có phương trình là:
A. ( x + 2)2 + (y – 3)2 = 4 B. (x – 2)2 + ( y – 3)2 = 1
C. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 9 D. Tất cả sai
Lời giải
Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là :
d(I; d) = = 1
Mà đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng d nên R= 1
⇒ Phương trình đường tròn( C): (x – 2)2 + (y – 3)2 = 1
Chọn B.
Ví dụ 9 . Đường tròn x2 + y2 + 4y = 0 không tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?
A. x – 2 = 0 B. x + y – 3 = 0 C. x + 2 = 0 D. Trục hoành.
Hướng dẫn giải
Đường tròn có tâm I( 0; -2) , bán kính R = 2.
– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (Δ1) : x – 2 = 0
d(I, Δ1) = = 2 = R ⇒ (C) tiếp xúc (Δ1)
– Tương tự: ( C) tiếp xúc (Δ2): x + 2 = 0; ( C) tiếp xúc trục hoành Ox: y= 0
– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (Δ3) :
d(I,Δ3)= ≠ R
⇒ ( C ) không tiếp xúc (Δ3)
Chọn B.
Ví dụ 10. Đường tròn (C) đi qua điểm M(2; -1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox; Oy có phương trình là:
A. (x + 1)2 + (y – 1)2 = 1 hoặc (x + 5)2 + (y – 5)2 = 25
B. (x – 1)2 + (y + 1)2 = 1
C. ( x – 5)2 + (y + 5)2 = 25
D. (x – 1)2 + (y + 1)2 = 1 hoặc ( x – 5)2 + (y + 5)2 = 25
Lời giải
Gọi tâm đường tròn là I = ( a; b)
Do đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên R = d(I; Ox) = d(I; Oy)
⇔ R = |a| = |b|.
Vì đường tròn đi qua điểm M(2; -1) thuộc góc phần tư thứ tư (IV) nên a = – b và a > 0
⇒ I( a; -a)
Ta có: R = IM ⇔ R2 = IM2 ⇔ a2 = ( a – 2)2 + (-a + 1)2
⇔ a2 = a2 – 4a + 4 + a2 – 2a + 1
⇔ a2 – 6a + 5 = 0 ⇔ a = 1 hoặc a = 5
+ Với a = 1 thì tâm đường tròn là I (1; -1) và bán kính R = 1
⇒ Phương trình ( C): ( x – 1)2 + ( y + 1)2 = 1.
+ Với a = 5 thì tâm đường tròn là I (5; -5) và bán kính R = 5
⇒ Phương trình đường tròn là ( x – 5)2 + (y + 5)2 = 25
Chọn D.
Ví dụ 11 : Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆ : 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn ( C): x2 + y2 – 9 = 0.
A. m = -3 B. m = 3 và m = -3 . C. m = 3 D. m = 15 và m = -15
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(0; 0) và bán kính R = 3.
Để ∆ tiếp xúc ( C) khi và chỉ khi :
d(I, Δ) = R ⇔ = 3 ⇔
Chọn D.
Ví dụ 12. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox?
A. x2 + y2 – 2x – 10y = 0 B. x2 + y2 + 6x + 5y + 9 = 0
C. x2 + y2 – 10y + 1= 0 D. x2 + y2 – 5 = 0
Hướng dẫn giải
Đường tròn: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 tiếp xúc với trục Ox khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn I( a; b) đến trục Ox: y = 0 là bằng R.
⇔ |b|=R
+ Phương án A: là đường tròn có a = 1; b = 5 và c = 0 nên bán kính đường tròn làR = = √26
⇒ |b| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với trục Ox.
+ Phương án B là đường tròn có a = -3; b = và c = 9
⇒ R =
⇒ |b| = R nên đường tròn này tiếp xúc với trục Ox.
+ Tương tự các đường tròn ở phương án C và D không tiếp xúc với trục Ox
Chọn B.
Ví dụ 13. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy?
A. x2 + y2 – 10y + 1= 0 B. x2 + y2 + 6x + 5y – 1 = 0
C. x2 + y2 – 2x = 0 D. x2 + y2 – 5 = 0
Hướng dẫn giải
Đường tròn: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 tiếp xúc với trục Oy khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn I( a; b) đến trục Oy: x= 0 là bằng R.
⇔ |a| = R.
+ Phương án A: Là đường tròn có a = 0; b = 5 và c = 1 nên bán kính
R = = √26
⇒|a| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với Oy.
+ Phương án B: là đường tròn có a = -3; b = – và c = – 1 nên
R =
⇒ |a| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với Oy.
+ Phương án C: là đường tròn có a = 1; b = 0; c = 0 nên R = 1
⇒ |a| = R nên đường tròn này tiếp xúc với Oy.
Chọn C.
Ví dụ 14: Cho đường tròn (C); x2 + y2 + 2x – 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (a) : x + 2y – 15 = 0 là
A. x + 2y = 0 và x + 2y – 10 = 0 B. x + 2y = 2 và x + 2y + 8 = 0
C. x + 2y + 2 = 0 và x + 2y – 8 = 0 D. tất cả sai
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I( -1;3) và bán kính R = = √5.
Do tiếp tuyến d song song với đường thẳng a nên d có dạng: x + 2y – m = 0
d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi:
d(I, d) = R ⇔ = √5 ⇔ |m-5|=5
Chọn A.
Ví dụ 15. Đường tròn ( C) có tâm I( -2; – 3) và tiếp xúc với đường thẳng(d): 3x – 4y – 1 = 0 có phương trình là:
A. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 1 B. (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4
C. (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9 D. ( x + 2)2 + ( y + 3)2 = 4
Lời giải
Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là :
d(I; d) = = 1
Mà đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng d nên R = 1
⇒ Phương trình đường tròn( C):
(x + 2)2 + (y + 3)2 = 1
Chọn A.
Ví dụ 16. Đường tròn (C) tâm I( -4; 3) và tiếp xúc với trục tung có phương trình là
A. x2 + y2 – 4x + 3y + 1 = 0. B. (x + 4)2 + (y – 3)2 = 16.
C. (x – 4)2 + (y + 3)2 = 9. D. x2 + y2 + 8x – 6y + 1 = 0.
Lời giải
Do đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung Oy và có tâm I( -4; 3) nên:
a = – 4; b = 3 và R = |a| =4.
Do đó, (C) có phương trình: (x + 4)2 + (y – 3)2 = 16.
Chọn B.
