a) Đúng: Mặt cầu có tâm $I(0;2; – 1)$, bán kính $R = sqrt{29}$.
$left. IA = sqrt{0^{2} + {( – 2)}^{2} + 5^{2}} = sqrt{29} = RRightarrow A in (S) right.$.
$left. IB = sqrt{6^{2} + {( – 4)}^{2} + 7^{2}} = sqrt{101} > RRightarrow B right.$ nằm ngoài $(S)$.
b) Sai: Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là $d(I,d) = sqrt{45} neq R$, do đó d không phải tiếp tuyến.
c) Đúng: $left. angle AMB = 90^{{^circ}}Leftrightarrowoverset{rightarrow}{MA} cdot overset{rightarrow}{MB} = 0 right.$
$left. Leftrightarrow x(x – 6) + y(y + 2) + (z – 4)(z – 6) = 0 right.$
$left. Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} – 6x + 2y – 10z + 24 = 0 right.$.
Ta có hệ phương trình:
$left. left{ begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} + z^{2} – 6x + 2y – 10z + 24 = 0} {x^{2} + y^{2} + z^{2} – 4y + 2z – 24 = 0} end{array} right.Leftrightarrow x – y + 2z – 8 = 0 right.$
Vậy M nằm trên mặt phẳng $(P):x – y + 2z – 8 = 0$.
d) Sai: Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $vec{n}_P = (1;-1;2)$, cùng phương với vectơ chỉ phương $vec{u}_d = (1;-1;2)$ của $d$, suy ra $d perp (P)$.
Gọi $K$ là giao điểm của $d$ và $(P)$.
Tọa độ $K$ ứng với giá trị $t$ thỏa mãn:
$(4+t) – (-8-t) + 2(4+2t) – 8 = 0 Leftrightarrow 6t + 12 = 0 Leftrightarrow t = -2$.
Suy ra $K(2;-6;0)$.
Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn bài toán là đường tròn giao tuyến $(C)$ của $(S)$ và $(P)$.
Tâm $J’$ của đường tròn $(C)$ là hình chiếu vuông góc của $I(0;2;-1)$ lên $(P)$.
Gọi đường thẳng qua $I$ vuông góc với $(P)$ là $Delta$, ta tìm được giao điểm của $Delta$ và $(P)$ là $J'(2;0;3)$.
Bán kính đường tròn $(C)$ là $r = sqrt{R^2 – IJ’^2} = sqrt{29 – (2^2 + (-2)^2 + 4^2)} = sqrt{29-24} = sqrt{5}$.
Vì $d perp (P)$ tại $K$ và $M in (P)$ nên khoảng cách từ $M$ đến $d$ chính là độ dài đoạn $MK$.
Ta cần tìm $M in (C)$ sao cho $MK$ ngắn nhất.
Khoảng cách giữa tâm $J’$ và $K$ là $J’K = sqrt{0^2 + (-6)^2 + (-3)^2} = sqrt{45} = 3sqrt{5}$.
Do $J’K > r$, điểm $K$ nằm ngoài đường tròn $(C)$.
Đoạn $MK$ ngắn nhất khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $J’K$ với đường tròn $(C)$.
Khi đó vectơ $vec{J’M}$ cùng hướng với $vec{J’K}$ và độ dài bằng $r$, ta có:
$vec{J’M} = dfrac{r}{J’K}vec{J’K} = dfrac{sqrt{5}}{3sqrt{5}}vec{J’K} = dfrac{1}{3}vec{J’K}$.
Ta có $vec{J’K} = (0;-6;-3) Rightarrow vec{J’M} = (0;-2;-1)$.
Với $J'(2;0;3)$, suy ra $M(2;-2;2)$.
Do đó $a=2, b=-2, c=2$.
Giá trị biểu thức $T = a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + (-2)^2 + 2^2 = 12 neq 10$.
