Các em hãy tham khảo ngay để được giải đáphệ phương trình có vô số nghiệm khi nào.
I. Nhắc lại một số kiến thức về hệ phương trình có vô số nghiệm
Điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm:
Cho hệ phương trình:
Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi:
1,
2, Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, tập hợp nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bằng đường thẳng (d1), của phương trình (2) được biểu diễn bằng đường thẳng (d2). Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi d1 trùng d2.
II. Các dạng bài toán cơ bản để hệ phương trình có vô số nghiệm
1. Dạng 1: Chứng minh hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm
*Phương pháp giải: Dựa vào điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm.
Ví dụ 1: Không giải hệ hãy chứng minh các hệ phương trình sau có vô số nghiệm.
a)
b)
ĐÁP ÁN
a) Ta có a = 1, b = 3, c = -6
a’ = -2, b’ = -6, c’ = 12
Xét
Suy ra
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
b) Ta có a = 3, b = -2, c = -16
a’ = -6 , b’ = 4, c’ = 32
Xét
Suy ra
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
⇒ Lưu ý: Với một số hệ không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, để làm dạng chứng minh này ta có thể đưa hệ về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (nếu có thể) hoặc chúng ta có thể giải từng phương trình của hệ. Nếu cả hai phương trình có vô số nghiệm chung thì ta kết luận hệ có vô số nghiệm.
Ví dụ 2: Chứng minh hệ phương trình sau có vô số nghiệm:
ĐÁP ÁN
Điều kiện: x, y ≠ 0.
Đặt
Suy ra ta có hệ phương trình:
Ta có:
Suy ra hệ phương trình có vô số nghiệm với mọi x, y ≠ 0.
2. Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm
Ví dụ 3: Tìm tham số m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm:
ĐÁP ÁN
Xét m = 0 ta có hệ
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất (loại).
Xét m ≠ 0: Để hệ phương trình có vô số nghiệm ta có:
(thỏa mãn)
Vậy m = 2 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
III. Một số bài tập liên quan hệ phương trình có vô số nghiệm
1. Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1. Cho hệ phương trình sau:
Hệ phương trình có vô số nghiệm khi nào? Chọn câu trả lời đúng nhất.
A. a = a’ và b = b’
B. a.b’ = a’.b và b.’c = b.c’
C. a = a’ và c = c’
D. a.b’ = a’.b
ĐÁP ÁN
Chọn B vì biến đổi ra ta sẽ được
Câu 2. Cho hệ phương trình
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
B. Hệ phương trình vô nghiệm
C. Hệ phương trình có vô số nghiệm
D. Hệ phương trình không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
ĐÁP ÁN
Chọn C vì đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có a = 2; b = -3; c = -5; a’ = -6; b’ = 9; c’ = 15
Suy ra
Câu 3. Cho hệ phương trình sau:
Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì:
A. m = 2.
B. Không tồn tại m.
C. m = -2.
D. Với mọi m.
ĐÁP ÁN
Chọn đáp án A.
Xét m = 0:
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất (loại).
Xét m ≠ 0:
Hệ phương trình là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Để hệ phương trình có vô số nghiệm ta có:
Suy ra: (thỏa mãn)
Câu 4. Cho hệ phương trình (I)
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm với mọi x ≥ 0 và y ≥ -2:
A. m = -1.
B. Không tồn tại m.
C. m = 1.
D. Với mọi m.
ĐÁP ÁN
Chọn đáp án C.
Với mọi x ≥ 0 và y ≥ -2
Đặt
Ta có hệ phương trình: (II)
Ta thấy hệ phương trình ẩn u và v là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có:
a = 1, b = m, c = 6, a’ = m, b’ = 1, c’ = 6.
Để hệ phương trình (I) có vô số nghiệm với mọi x ≥ 0 và y ≥ -2 thì hệ phương trình (II) phải có vô số nghiệm với mọi u, v ≥ 0.
+) Xét m = 0 suy ra
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (loại)
+) Xét m ≠ 0.
Để hệ phương trình (II) phải có vô số nghiệm với mọi u, v ≥ 0 thì:
Suy ra m = 1
2. Bài tập tự luận
Bài 1. Không giải hệ phương trình, hãy chứng minh các hệ phương trình sau có vô số nghiệm.
a) (I)
b) (II)
ĐÁP ÁN
a) Ta thấy hệ phương trình (I) là hệ phương trình hai ẩn bậc nhất với ẩn x và (y + 1).
Ta có: a = 2; b = -3; c = -2; a’ = 6; b’ = -9; c’ = -6
Xét
Suy ra
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
b) Điều kiện x ≠ 1 và y ≠ -2.
Đặt
Ta có hệ phương trình (II) trở thành: (III)
Hệ phương trình (III) có a = 1; b = 2; c= -1; a’ = 4; b’ = 8; c’ = -4
Xét
Suy ra
Suy ra hệ phương trình (III) có vô số nghiệm.
Vậy hệ phương trình (II) có vô số nghiệm thỏa mãn x ≠ 1 và y ≠ -2.
Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm với mọi x ≥ 0 và y ≥ 2 :
ĐÁP ÁN
Điều kiện: x ≥ 0 và y ≥ 2
Xét m = 0 ta có hệ phương trình:
Vậy m = 0 không thoả mãn yêu cầu bài toán.
Xét m ≠ 0. Đặt
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
Để hệ đã cho có vô số nghiệm thì hệ (I) có vô số nghiệm.
Ta thấy hệ (I) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta có:
Suy ra:
Vậy m = 1.
Như vậy, bài viết trên đã giải đáp cho câu hỏi hệ phương trình có vô số nghiệm khi nào. Hy vọng các em có thể nắm trọn kiến thức trên và áp dụng làm bài tập một cách hiệu quả. Chúc các em luôn có kết quả cao trong học tập.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
