Lý thuyết Cực trị hàm số
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Bài giảng: Bài 2: Cực trị của hàm số – Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên VietJack)
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -∝; b là +∝) và điểm xo ∈ (a; b) .
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(xo) với mọi x ∈ (xo – h; xo + h) và x ≠ xo thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại xo .
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(xo) với mọi x ∈ (xo – h; xo + h) và x ≠ xo thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại xo .
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = (xo – h; xo + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K {xo}, với h > 0 .
– Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (xo – h; xo) và f'(x) < 0 trên (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực đại của hàm số f(x).
– Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (xo – h; xo) và f'(x) > 0 trên (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Minh họa bằng bảng biến thiến
* Chú ý.
– Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thì xo được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(xo) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ(fCT) , còn điểm M(xo; f(xo)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
– Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
B. Kĩ năng giải bài tập
1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
– Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'(x) . Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
– Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3;…) là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính f”(x) và f”(xi).
Bước 4. Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
Ta có y’= 3ax2 + 2bx + c
– Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ b2 – 3ac > 0. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : .
– Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
Hoặc sử dụng công thức .
– Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:
3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.
Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).
(C) có ba điểm cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt .
Khi đó ba điểm cực trị là: với Δ = b2 – 4ac
Độ dài các đoạn thẳng: .
Các kết quả cần ghi nhớ:
– ΔABC vuông cân ⇔ BC2 = AB2 + AC2
– ΔABC đều ⇔ BC2 = AB2
– , ta có:
–
– Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là
– Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là
– Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:
C. Kĩ năng sử dụng máy tính
Ví dụ 1: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x3 + 3×2 – x + 2
Lời giải:
Bấm máy tính: MODE 2
Ví dụ 2: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ( nếu có ) của đồ thị hàm số: y = x3 – 3×2 + m2x + m
Lời giải:
Bấm máy tính: MODE 2
Ta có:
Vậy đường thẳng cần tìm:
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:
- Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Lý thuyết Đường tiệm cận
- Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
- Lý thuyết tổng hợp chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
