Phương pháp giải:
– Tính đạo hàm (y’)
– Hàm số đồng biến trên (left( {1; + infty } right))( Leftrightarrow y’ ge 0{mkern 1mu} {mkern 1mu} forall x in left( {1; + infty } right))
– Xét các TH sau:
+ TH1: (Delta ‘ le 0) ( Rightarrow ) Hàm số đồng biến trên (mathbb{R})
+ TH2: (Delta ‘ > 0), phương trình (y’ = 0) có hai nghiệm phân biệt ({x_1} < {x_2}). Để hàm số đồng biến trên (left( {1; + infty } right))thì ({x_1} < {x_2} le 1)
– Áp dụng định lí Vi-ét.
Giải chi tiết:
Hàm số (y = frac{{{x^3}}}{3} – left( {m – 1} right){x^2} + 3left( {m – 1} right)x + 1) xác định trên (left( {1; + infty } right))
Ta có: (y’ = {x^2} – 2left( {m – 1} right)x + 3left( {m – 1} right))
Để hàm số đồng biến trên (left( {1; + infty } right))( Leftrightarrow y’ ge 0{mkern 1mu} {mkern 1mu} forall x in left( {1; + infty } right))
( Leftrightarrow {x^2} – 2left( {m – 1} right)x + 3left( {m – 1} right) ge 0{mkern 1mu} {mkern 1mu} forall x in left( {1; + infty } right)) (*).
Ta có (Delta ‘ = {left( {m – 1} right)^2} – 3left( {m – 1} right) = {m^2} – 5m + 4)
TH1: (Delta ‘ le 0 Leftrightarrow {m^2} – 5m + 4 le 0 Leftrightarrow 1 le m le 4), khi đó (y’ ge 0{mkern 1mu} {mkern 1mu} forall x in mathbb{R}) nên thỏa mãn (*).
TH2: (Delta ‘ > 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{m > 4}{m < 1}end{array}} right.), khi đó phương trình (y’ = 0) có hai nghiệm phân biệt ({x_1} < {x_2}).
Áp dụng định lí Vi-et ta có (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2left( {m – 1} right)}{{x_1}{x_2} = 3left( {m – 1} right)}end{array}} right.)
Khi đó ta có (y’ ge 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{x ge {x_2}}{x le {x_1}}end{array}} right.), nên hàm số đã cho đồng biến trên (left( { – infty ;{x_1}} right)) và (left( {{x_2}; + infty } right))
Để hàm số đồng biến trên (left( {1; + infty } right)) thì (left( {1; + infty } right) subseteq left( {{x_2}; + infty } right))( Rightarrow {x_1} < {x_2} le 1)
Khi đó ta có:
(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} < 2}{left( {{x_1} – 1} right)left( {{x_2} – 1} right) ge 0}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} < 2}{{x_1}{x_2} – left( {{x_1} + {x_2}} right) + 1 ge 0}end{array}} right.)
( Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{2left( {m – 1} right) < 2}{3left( {m – 1} right) – 2left( {m – 1} right) + 1 ge 0}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{m – 1 < 1}{m – 1 + 1 ge 0}end{array}} right.)
( Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}{m < 2}{m ge 0}end{array}} right. Leftrightarrow 0 le m < 2)
Kết hợp 2 TH ta có (0 le m le 4). Mà (m in mathbb{Z} Rightarrow m in left{ {0;1;2;3;4} right}).
Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
