1. Ôn thi học kì 1 lớp 11 môn toán: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
1.1 Hàm số lượng giác
– Các hàm số lượng giác
Hàm số y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Tập xác định D = R D = R D = R
D = R Hàm số chẵn/ lẽ Lẻ Chẵn Lẻ Lẻ Chu kỳ 2
2 Tập giá trị T =[-1;1] T =[-1;1] T = R T = R
Hàm số đồng biến
– Hàm số nghịch biến 
– Đường tiệm cận – –
1.2 Phương trình lượng giác cơ bản
sinx = m
+ Điều kiện có nghiệm:
+ Khi , tồn tại duy nhất thỏa mãn sin = m, khi đó:
hoặc
+ Trường hợp số đo góc được cho bằng đơn vị độ thì:
hoặc
+ Trường hợp đặc biệt:
+ Lưu ý:
cosx = m
+ Điều kiện có nghiệm:
+ Khi , tồn tại duy nhất thỏa mãn cos = m, khi đó:
hoặc
+ Trường hợp số đo góc được cho bằng đơn vị độ thì:
hoặc
+ Trường hợp đặc biệt:
+ Lưu ý:
tanx = m
+Phương trình có nghiệm với mọi m
+ Với mọi m, tồn tại duy nhất thỏa mãn tan =m, khi đó:
+ Nếu số đo của góc được tính bằng đơn vị độ thì:
cotx = m
+Phương trình có nghiệm với mọi m
+ Với mọi m, tồn tại duy nhất thỏa mãn cot =m, khi đó:
+ Nếu số đo của góc được tính bằng đơn vị độ thì:
Các em học sinh có thể tham khảo chi tiết tại: Bảng công thức lượng giác
1.3 Một số phương trình lượng giác thường gặp
a. Phương trình bậc nhất với 1 hàm lượng giác
Dạng phương trình Cách làm Điều kiện f(sinx) = 0 (asin2x + bsinx + c = 0) Đặt t = sinx |t| 1 f(cosx) = 0 (acos2x + bcos + c = 0) Đặt t = cosx |t| 1 f(tanx) = 0 (atan2x + btanx + c = 0) Đặt t = tanx f(cotx) = 0 (acot2x + bcotx + c = 0) Đặt t = cotx
b. Phương trình bậc nhất với 2 hàm sin, cos
Dạng phương trình:
Cách làm: Điều kiện có nghiệm: a2 + b2 c
Chia cả 2 vế cho , sử dụng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos.
c. Phương trình đẳng cấp
Dạng phương trình:
- Dạng 1: (1)
- Dạng 2: (2)
Cách 1 ( áp dụng cho dạng 1)
+ Xét cosx = 0 => sin2x = 1 => a – d = 0, nếu đúng thì cosx = 0 là nghiệm của (1)
+ Xét cosx 0 => chia cả 2 vế cho cos2x
Cách 2 ( áp dụng cho cả 2 dạng)
Ta có:
Thay vào phương trình ta có phương trình bậc nhất với sin2x và cos 2x => Giải phương trình như bình thường.
d. Phương trình đối xứng
Dạng phương trình:
Cách làm: Đặt
=> Giải phương trình bình thường.
Đăng ký ngay khóa học PAS THPT để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm ngay từ bây giờ bạn nhé!
2. Ôn thi học kì 1 lớp 11 môn toán: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân
2.1 Tính đơn điệu của dãy số
– Cho dãy số (un) nếu ta có: (un) là dãy số tăng nếu un < un+1, là dãy số giảm nếu un > un+1
– Một dãy số tăng hay giảm gọi là dãy số đơn điệu. Để xét tính đơn điệu của hàm số, áp dụng tính chất bất đẳng thức hoặc xét hiệu T = un+1 – un
+ Nếu T > 0, thì (un) là dãy số tăng
+ Nếu T < 0, thì (un) là dãy số giảm
2.2 Dãy số bị chặn
Cho dãy số (un) nếu tồn tại số M sao cho un M => dãy số bị chặn trên. Nếu tồn tại số m sao cho un m => dãy số bị chặn dưới. Nếu m (un) M => dãy số bị chặn.
2.3 Cấp số cộng
– Định nghĩa: (un) là cấp số cộng nếu tồn tại số d sao cho un+1 = un + d, trong đó d là công sai và un là số hạng tổng quát thứ n.
– Tính chất:
+ Số hạng tổng quát thứ n: un = u1 + (n -1)d
+ (un) là cấp số cộng <=> un-1 + un+1 = 2un,
– Tổng n số hạng đầu tiên:
2.4 Cấp số nhân
– Định nghĩa: (un) là cấp số nhân nếu tồn tại một số q sao cho , trong đó q là công bội và un là số hạng tổng quá thứ n.
– Tính chất:
+ Số hạng tổng quát: un = u1.qn-1
+ (un) là cấp số nhân <=> un-1.un+1 =(un)2 ,
– Tổng n số hạng đầu tiên:
+ q = 1 thì Sn = n.u1
+ q 1 thì + Cấp số nhân lùi vô hạn là CSN có công bội có tổng
3. Ôn tập thi học kì 1 môn toán lớp 11: Giới hạn, hàm số liên tục
3.1 Giới hạn của dãy số
a. Dãy số có giới hạn 0
– ĐN 1: Dãy số (un) có giới hạn bằng 0 khi n tiến dần tới , nếu |un| nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:
– ĐN 2: Dãy số (vn) có giới hạn là a khi n nếu
– Tính chất:
, với k nguyên dương.
b. Dãy số có giới hạn hữu hạn
– Định nghĩa: nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi,
– Định lý 1: Nếu lim un = a và lim vn = b thì:
- lim(un + vn) = a + b
- lim(un – vn) = a – b
- lim(un.vn) = a.b
c. Dãy số có giới hạn vô cực
– Dãy số có giới hạn : lim un =
– Dãy số có giới hạn : lim un =
– Quy tắc tìm giới hạn vô cực
+ Quy tắc nhân:
lim un lim vn lim(un.vn)
+ Quy tắc chia
lim un = L có dấu lim vn = 0, vn có dấu + + + – – + – –
3.2 Giới hạn của hàm số
– Định nghĩa:
– Nhận xét: ; với c là hằng số.
– Định lí:
- Nếu f(x) 0 và , thì L 0 và
– Giới hạn đặc biệt:
- với k nguyên dương.
- nếu k chẵn
- nếu k lẻ
– Quy tắc giới hạn của tích f(x).g(x)
L > 0 L < 0
– Quy tắc giới hạn của thương f(x)/g(x)
Dấu của g(x) L Tùy ý 0 L > 0 0 L < 0
3.3 Hàm số liên tục
a. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và xo K. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại xo nếu
+ Nếu hàm số y = f(x) không liên tục tại xo được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
+ Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng đó nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
+ Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và và
b. Định lý
– Định lý 1: Hàm đa thức liên tục trên toàn bộ R. Hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
– Định lý 2: Nếu f(x), g(x) liên tục tại xo thì tổng, hiệu, tích của 2 hàm số đó cũng liên tục tại xo. Hàm thương f(x)/g(x) liên tục tại xo nếu g(xo) 0.
– Định lý 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a;b]
Giành lấy điểm 9+ môn Toán với bộ sách hỗ trợ học tập cực hay được biên soạn bởi các thầy cô dạy trường chuyên hàng đầu Việt Nam!!!
4. Đề cương ôn tập toán 11 học kì 1: Đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ song song trong không gian
Dưới đây là trọng tâm ôn tập thi học kì 1 môn toán lớp 11 phần hình học:
Sổ tay hack điểm thi toán, tổng hợp các công thức, tips học toán được tiết lộ bởi các thầy cô trường chuyên. Đăng ký ngay để nhận ưu đãi 50% từ VUIHOC nhé!
5. Ôn thi học kì 1 lớp 11 môn toán: Luyện tập
5.1 Bài tập giải phương trình lượng giác
a. sin2x + sin2x + 2 cos2x = 2
hoặc tanx = 0 hoặc
b.
hoặc
c. cos23x.cos2x – cos2x = 0
d.
e.
5.2 Bài tập dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân
Bài 1: Cấp số cộng (un) có u4+ u97 =101. Hãy tìm tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy (un)?
Gọi u1, d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un).
Ta có:
Bài 2: Cho cấp số nhân (un) có u3 = 8 và u5 = 32. Hãy tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó?
Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), ta có:
Với q = 2, ta có u10= u3.q7= 1024
Với q = -2. ta có u10 = -1024
5.3 Bài tập giới hạn, hàm số liên tục
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
TXĐ: D = R
Tại
=> f(x) liên tục tại
Tại x = -2 ta có f(-2) = 3
=>
=> f(x) không liên tục tại x = -2
Bài 2: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1
Ta có:
Nếu a = -3 thì:
=> Hàm số không liên tục tại x = 1
Nếu a 3
Và f(1) = 3 + a 0 => Hàm số không liên tục tại x = 1
Vậy không có giá trị nào của a để hàm số lien tục tại x = 1.
5.4 Bài tập đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ song song trong không gian
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm S không thuộc mặt phẳng hình bình hành đã cho. Hãy tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD)
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có S (SAC) (SBD)
Nên SO = (SAC) (SBD)
=> Giao tuyến cần tìm là đường thẳng SO.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC.
a. Xét vị trí tương đối của đường thẳng MN và (BCD)
b. Gọi d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và (ABC)
Lời giải:
a. Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC => MN // (BCD).
b. Vì MN // (BCD) nên (DMN) đi qua MN cắt (BCD) theo giao tuyến d // MN. Do đó d // (ABC).
Trên đây là những kiến thức trọng tâm ôn thi học kì 1 lớp 11 môn toán mà vuihoc đã tổng hợp dựa trên các bài học trong chương trình toán 11. Để làm tốt bài thi giữa kì, các em cần ghi nhớ và nắm chắc lý thuyết. Chúc các em hoàn thành tốt bài thi giữa kì 1 môn toán và đừng quên truy cập trang web vuihoc.vn để học thêm nhiều kiến thức hữu ích khác.
>> Mời bạn xem thêm:
- Ôn thi học kì 1 lớp 11 môn lý
- Ôn thi học kì 1 lớp 11 môn hóa
- Ôn thi học kì 1 lớp 11 môn anh
- Ôn thi học kì 1 lớp 11 môn văn
- Đề thi học kì 1 lớp 11 môn toán
