Các công thức về cấp số cộng đầy đủ nhất (siêu hay)
Bài viết Các công thức về cấp số cộng đầy đủ nhất Toán lớp 11 hay nhất gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập minh họa áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Các công thức về cấp số cộng đầy đủ nhất.
1. Lý thuyết
a) Định nghĩa: (un) là cấp số cộng khi un+1 = un + d, n ∈ N* (d gọi là công sai)
Nhận xét:
– Cấp số cộng (un) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.
– Cấp số cộng (un) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.
– Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) được xác định bởi công thức:
un = u1 + (n – 1)d với n ∈ N*, n ≥ 2.
c) Tính chất:
Ba số hạng uk-1, uk, uk+1 (k ≥ 2) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi
d) Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức:
2. Công thức
– Công thức tính tính công sai: d = un+1 – un với n ∈ N*.
– Công thức tìm số hạng tổng quát: un = u1 + (n – 1)d với n ∈ N*, n ≥ 2.
– Tính chất của 3 số hạng uk-1, uk, uk+1 (k ≥ 2) liên tiếp của cấp số cộng:
– Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn:
a) Xác định công sai và số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
b) Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.
c) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.
d) Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Lời giải
a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:
Vậy công sai d = 3 và số hạng đầu tiên u1 = 1.
b) Số hạng tổng quát: un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1).3 = 3n – 2.
c) Số hạng thứ 100 là: u100 = 3.100 – 2 = 298.
d) Tổng 15 số hạng đầu tiên:
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: un = 2n – 3.
a) Xác định công sai của cấp số cộng
b) Số 393 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.
c) Tính S = u1 + u3 + u5 + … + u2021
Lời giải
a) Ta có: un + 1 = 2(n + 1) – 3 = 2n – 1
Công sai của cấp số cộng: d = un+1 – un = (2n – 1) – (2n – 3) = 2
b) Gọi số hạng thứ k của cấp số cộng là 393, ta có uk = 393.
Khi đó: 2k – 3 = 393. Suy ra k = 198.
Vậy số 393 là số hạng thứ 198 của cấp số cộng.
c) Ta có: u1 = 2 . 1 – 3 = – 1
Dãy số là (vn): u1; u3; u5; … u2021 là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u1 = – 1 và công sai d’ = u3 – u1 = 2d = 4
Dãy (vn) có: (2021 – 1) : 2 + 1 = 1011 số hạng
Vậy tổng
Xem thêm các Công thức Toán lớp 11 quan trọng hay khác:
-
Công thức tính công sai của cấp số cộng
-
Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng
-
Công thức tính tổng n số hạng của cấp số cộng
-
Các công thức về cấp số nhân
-
Công thức tính công bội của cấp số nhân
