a) Sai. Vì có 3 vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện là $overset{rightarrow}{AB},^{}overset{rightarrow}{AC},^{}overset{rightarrow}{AD}.$
b) Sai. Vì M là trung điểm của cạnh BC nên $overset{rightarrow}{AB} + overset{rightarrow}{AC} = 2overset{rightarrow}{AM}$.
c) Đúng. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên với điểm I, ta có $overset{rightarrow}{IB} + overset{rightarrow}{IC} + overset{rightarrow}{ID} = 3overset{rightarrow}{IG}$.
Do đó $overset{rightarrow}{IA} + overset{rightarrow}{IB} + overset{rightarrow}{IC} + overset{rightarrow}{ID} = overset{rightarrow}{IA} + 3overset{rightarrow}{IG}$.
Vì I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho $overset{rightarrow}{AI} = 3overset{rightarrow}{IG}$ nên $overset{rightarrow}{IA},overset{rightarrow}{IG}$ là hai vectơ ngược hướng và IA = 3IG. Do đó $left. overset{rightarrow}{IA} = – 3overset{rightarrow}{IG}Leftrightarrowoverset{rightarrow}{IA} + 3overset{rightarrow}{IG} = overset{rightarrow}{0} right.$.
d) Đúng. Giả sử cạnh của tứ diện đã cho bằng a.
Ta có AB = a, $DM = dfrac{asqrt{3}}{2}$, $AM = dfrac{asqrt{3}}{2}$, $left( {overset{rightarrow}{AB},overset{rightarrow}{AM}} right) = 30^{o}$, $left( {overset{rightarrow}{AB},overset{rightarrow}{AD}} right) = 60^{o}$.
Khi đó $overset{rightarrow}{AB} cdot overset{rightarrow}{DM} = overset{rightarrow}{AB} cdot left( {overset{rightarrow}{AM} – overset{rightarrow}{AD}} right) = overset{rightarrow}{AB} cdot overset{rightarrow}{AM} – overset{rightarrow}{AB} cdot overset{rightarrow}{AD}$
$= left| overset{rightarrow}{AB} right| cdot left| overset{rightarrow}{AM} right| cdot cosleft( {overset{rightarrow}{AB},overset{rightarrow}{AM}} right) – left| overset{rightarrow}{AB} right| cdot left| overset{rightarrow}{AD} right| cdot cosleft( {overset{rightarrow}{AB},overset{rightarrow}{AD}} right)$
$= a cdot dfrac{asqrt{3}}{2} cdot cos 30{^circ} – a cdot a cdot cos 60{^circ} = dfrac{a^{2}}{4}$.
Do đó $cosleft( {overset{rightarrow}{AB},overset{rightarrow}{DM}} right) = dfrac{overset{rightarrow}{AB} cdot overset{rightarrow}{DM}}{left| overset{rightarrow}{AB} right| cdot left| overset{rightarrow}{DM} right|} = dfrac{dfrac{a^{2}}{4}}{a cdot dfrac{asqrt{3}}{2}} = dfrac{sqrt{3}}{6} > 0$.
Suy ra $cosleft( {AB,DM} right) = cosleft( {overset{rightarrow}{AB},overset{rightarrow}{DM}} right) = dfrac{sqrt{3}}{6}$.
