image
1. Tìm Kiếm Nhị Phân
Tìm kiếm nhị phân – Binary search được sử dụng trên dãy số đã được sắp xếp tăng dần hoặc giảm dần.
Khác với tìm kiếm tuyến tính không cần điều kiện gì về dãy số tìm kiếm thì với tìm kiếm nhị phân ta phải có một dãy số đã có thứ tự hoặc phải sắp xếp dãy số trước khi áp dụng thuật toán này.
Giả sử bạn cần tìm kiếm phần tử X trong mảng A[] có N phần tử đã sắp xếp tăng dần. Ban đầu đoạn tìm kiếm sẽ là toàn bộ mảng, chỉ số đầu tiên của đoạn tìm kiếm là 0 và chỉ số cuối cùng là N – 1.
Ý tưởng của thuật toán đó là ở mỗi lần tìm kiếm trên đoạn [L, R] thì bạn sẽ tìm ra phần tử đứng giữa và so sánh với phần tử X, vì mảng đã sắp xếp tăng dần nên khi so sánh X với phần tử đứng giữa bạn có thể loại bỏ đi 1 nửa khoảng tìm kiếm, cứ như vậy thì đoạn bạn cần tìm kiếm sẽ giảm đi 1 nửa sau mỗi lần tìm kiếm.
Ví dụ mảng có 1 tỷ phần tử thì bạn chỉ cần tìm kiếm 31 lần.
Để tìm chỉ số đứng giữa của đoạn [L, R] bạn lấy (L + R) / 2 hoặc L + (R – L) / 2
Độ phức tạp : O(logN)
Thuật toán :
- Chia đôi đoạn tìm kiếm thành 2 nửa bằng cách tìm chỉ số đứng giữa của đoạn cần tìm kiếm, M = (L + R) / 2
- So sánh phần tử ở giữa đoạn là A[M] với phần tử cần tìm kiếm sẽ xảy ra 3 trường hợp
- Nếu phần tử cần tìm kiếm bằng phần tử ở giữa thì kết luận tìm thấy
- Nếu phần tử cần tìm kiếm nhỏ hơn phần tử ở giữa thì loại bỏ nửa bên phải trong lần tìm kiếm tiếp theo
- Nếu phần tử cần tìm kiếm lớn hơn phần tử ở giữa thì loại bỏ nửa bên trái trong lần tìm kiếm tiếp theo
- Quá trình lặp đi lặp lại từ bước 1 tới bước 5 cho tới khi phần tử được tìm thấy hoặc không còn khoảng tìm kiếm
Trường hợp 1 : Khi tìm ra phần tử đứng giữa bằng giá trị mà bạn tìm kiếm, thuật toán sẽ dừng vì đã tìm thấy
binary search 1
Trường hợp 2 : Khi tìm ra phần tử đứng giữa nhỏ hơn giá trị tìm kiếm, ta có thể khẳng đỉnh giá trị cần tìm kiếm nếu có sẽ nằm ở nửa bên phải. Khi đó bạn cập nhập L = M + 1
binary search 2
Trường hợp 3 : Khi tìm ra phần tử đứng giữa lớn hơn giá trị tìm kiếm, ta có thể khẳng đỉnh giá trị cần tìm kiếm nếu có sẽ nằm ở nửa bên trái. Khi đó bạn cập nhập R = M – 1
binary search 3
Mã nguồn :
#include “iostream” using namespace std; bool binary_search(int a[], int n, int x){ //Khởi tạo left, right int l = 0, r = n – 1; while(l <= r){ //Tính chỉ số của phần tử ở giữa int m = (l + r) / 2; if(a[m] == x){ return true; // tìm thấy } else if(a[m] < x){ //tìm kiếm ở bên phải l = m + 1; } else{ //tìm kiếm ở bên trái r = m – 1; } } return false; // l > r } int main(){ int n = 12, x = 24, y = 6; int a[12] = {1, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 9, 13, 24, 27, 28}; if(binary_search(a, n, x)){ cout << “FOUNDn”; } else cout << “NOT FOUNDn”; if(binary_search(a, n, y)){ cout << “FOUNDn”; } else cout << “NOT FOUNDn”; return 0; }
Output :
FOUND NOT FOUND
Ví dụ 1. Tìm phần tử X = 3 trong mảng A[] = {1, 1, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 21, 32}
Ban đầu : l = 0, r = 9
- Vòng lặp 1, l = 0, r = 9 , m = (l + r) / 2 = 4, A[m] = 5 > X => Cập nhật r = m – 1 = 3
- Vòng lặp 2, l = 0, r = 3, m = (l + r) / 2 = 1, A[m] = 1 < X => Cập nhật l = m + 1 = 2
- Vòng lặp 3, l = 2, r = 3, m = (l + r) / 2 = 2, A[m] = 3 = X => Tìm thấy X và kết thúc chương trình
Ví dụ 2. Tìm phần tử X = 2 trong mảng A[] = {1, 1, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 21, 32}
Ban đầu : l = 0, r = 9
- Vòng lặp 1, l = 0, r = 9, m = (l + r) / 2 = 4, A[m] = 4 > X => Cập nhật r = m – 1 = 3
- Vòng lặp 2, l = 0, r = 3, m = (l + r) / 2 = 1, A[m] = 1 < X => Cập nhật l = m + 1 = 2
- Vòng lặp 3, l = 2, r = 3, m = (l + r) / 2 = 2, A[m] = 3 > X => Cập nhật r = m – 1 – 1
- Vòng lặp 4, l = 2, r = 1, l > r nên vòng lặp kết thúc và không tìm thấy X
2. Tìm Kiếm Nhị Phân Biến Đổi
Bài toán 1. Tìm vị trí đầu tiên của phần tử X trong mảng đã sắp tăng dần
Tương tự như thuật toán tìm kiếm nhị phân nhưng khi tìm thấy phần tử X trong mảng thì ta chỉ lưu lại kết quả và cố gắng tìm kiếm thêm ở nửa bên trái.
#include “iostream” using namespace std; int firstPos(int a[], int n, int x){ int l = 0, r = n – 1; int pos = -1; // cập nhật kết quả while(l <= r){ //Tính chỉ số của phần tử ở giữa int m = (l + r) / 2; if(a[m] == x){ pos = m; // lưu lại //Tìm thêm bên trái r = m – 1; } else if(a[m] < x){ //tìm kiếm ở bên phải l = m + 1; } else{ //tìm kiếm ở bên trái r = m – 1; } } return pos; } int main(){ int n = 10, x = 3; int a[10] = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 7, 9}; int res = firstPos(a, n, x); if(res == -1){ cout << “3 khong xuat hien trong mangn”; } else{ cout << “Vi tri dau tien cua 3 trong mang : ” << res << endl; } return 0; }
Output :
Vi tri dau tien cua 3 trong mang : 4
Bài toán 2 : Tìm vị trí cuối cùng của phần tử X trong mảng đã sắp tăng dần
Tương tự như thuật toán tìm kiếm nhị phân nhưng khi tìm thấy phần tử X trong mảng thì ta chỉ lưu lại kết quả và cố gắng tìm kiếm thêm ở nửa bên phải.
#include “iostream” using namespace std; int lastPos(int a[], int n, int x){ int l = 0, r = n – 1; int pos = -1; // cập nhật kết quả while(l <= r){ //Tính chỉ số của phần tử ở giữa int m = (l + r) / 2; if(a[m] == x){ pos = m; // lưu lại //Tìm thêm bên phải l = m + 1; } else if(a[m] < x){ //tìm kiếm ở bên phải l = m + 1; } else{ //tìm kiếm ở bên trái r = m – 1; } } return pos; } int main(){ int n = 10, x = 3; int a[10] = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 7, 9}; int res = lastPos(a, n, x); if(res == -1){ cout << “3 khong xuat hien trong mangn”; } else{ cout << “Vi tri xuat hien cuoi cung cua 3 trong mang : ” << res << endl; } return 0; }
Output :
Vi tri xuat hien cuoi cung cua 3 trong mang : 6
Bài toán 3 : Tìm vị trí đầu tiên của phần tử lớn hơn hoặc bằng X trong mảng đã sắp tăng dần
Tương tự như thuật toán tìm kiếm nhị phân nhưng khi tìm thấy phần tử ở giữa lớn hơn hoặc bằng phần tử X thì ta chỉ lưu lại kết quả và cố gắng tìm kiếm thêm ở nửa bên trái.
#include “iostream” using namespace std; int firstPos(int a[], int n, int x){ int l = 0, r = n – 1; int pos = -1; // cập nhật kết quả while(l <= r){ //Tính chỉ số của phần tử ở giữa int m = (l + r) / 2; if(a[m] >= x){ pos = m; // lưu lại //Tìm thêm bên trái r = m – 1; } else{ //tìm kiếm ở bên phải l = m + 1; } } return pos; } int main(){ int n = 10, x = 4; int a[10] = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 7, 9}; int res = firstPos(a, n, x); if(res == -1){ cout << “Khong ton tai so >= 4 trong mangn”; } else{ cout << “Vi tri cua phan tu dau tien >= 4 trong mang la : ” << res << “, gia tri = ” << a[res] << endl; } return 0; }
Output :
Vi tri cua phan tu dau tien >= 4 trong mang la : 7, gia tri = 5
Video Tìm Kiếm Nhị Phân :
dB2DWSKGLj8
