Số thực dương

Đánh giá bài viết

Trong toán học, tập các số thực dương, R > 0 = { x ∈ R ∣ x > 0 } , {displaystyle mathbb {R} _{>0}=left{xin mathbb {R} mid x>0right},} ${displaystyle mathbb {R} _{>0}=left{xin mathbb {R} mid x>0right},}$ là tập con của các số thực mà lớn hơn không. Tập số thực không âm, R ≥ 0 = { x ∈ R ∣ x ≥ 0 } , {displaystyle mathbb {R} _{geq 0}=left{xin mathbb {R} mid xgeq 0right},} ${displaystyle mathbb {R} _{geq 0}=left{xin mathbb {R} mid xgeq 0right},}$ có bao gồm số 0. Tuy ký hiệu R + {displaystyle mathbb {R} _{+}} ${displaystyle mathbb {R} _{+}}$ và R + {displaystyle mathbb {R} ^{+}} ${displaystyle mathbb {R} ^{+}}$ đều có thể sử dụng cho cả hai, cách dùng R + {displaystyle mathbb {R} _{+}} ${displaystyle mathbb {R} _{+}}$ hay R + {displaystyle mathbb {R} ^{+}} ${displaystyle mathbb {R} ^{+}}$ cho { x ∈ R ∣ x ≥ 0 } {displaystyle left{xin mathbb {R} mid xgeq 0right}} ${displaystyle left{xin mathbb {R} mid xgeq 0right}}$ và R + ∗ {displaystyle mathbb {R} _{+}^{*}} ${displaystyle mathbb {R} _{+}^{*}}$ hay R ∗ + {displaystyle mathbb {R} _{*}^{+}} ${displaystyle mathbb {R} _{*}^{+}}$ cho { x ∈ R ∣ x > 0 } {displaystyle left{xin mathbb {R} mid x>0right}} ${displaystyle left{xin mathbb {R} mid x>0right}}$ thường được sử dụng, với dấu sao ký hiệu việc loại bỏ số 0 trong tập hợp và đủ hiểu với các nhà toán học.[1]

Trong mặt phẳng phức, R > 0 {displaystyle mathbb {R} _{>0}} ${displaystyle mathbb {R} _{>0}}$ được coi là trục thực dương, và thường được vẽ bằng một tia ngang.

Tập R > 0 {displaystyle mathbb {R} _{>0}} ${displaystyle mathbb {R} _{>0}}$ đóng dưới phép cộng, nhân và chia. Nó thừa kế tô pô từ hello đường số thực và đó có cấu trúc của nhóm tô pô nhân hoặc của nửa nhóm tô pô.

Với bất kỳ số thực dương x , {displaystyle x,} ${displaystyle x,}$ dãy số { x n } {displaystyle left{x^{n}right}} ${displaystyle left{x^{n}right}}$ có 3 kết quả sau: Khi x ∈ ( 0 , 1 ) , {displaystyle xin (0,1),} ${displaystyle xin (0,1),}$ giới hạn của dãy bằng không; Khi x = 1 , {displaystyle x=1,} ${displaystyle x=1,}$ dãy này là dãy hằng; và khi x > 1 , {displaystyle x>1,} ${displaystyle x>1,}$ dãy số này không bị chặn.

R > 0 = ( 0 , 1 ) ∪ { 1 } ∪ ( 1 , ∞ ) {displaystyle mathbb {R} _{>0}=(0,1)cup {1}cup (1,infty )} ${displaystyle mathbb {R} _{>0}=(0,1)cup {1}cup (1,infty )}$ và các hàm nghịch đảo phép nhân đổi chỗ các khoảng nào. Hàm lấy phần nguyên, floor : [ 1 , ∞ ) → N , x ↦ ⌊ x ⌋ , {displaystyle operatorname {floor} :[1,infty )to mathbb {N} ,,xmapsto lfloor xrfloor ,} ${displaystyle operatorname {floor} :[1,infty )to mathbb {N} ,,xmapsto lfloor xrfloor ,}$ và hàm lấy phần lẻ, excess : [ 1 , ∞ ) → ( 0 , 1 ) , x ↦ x − ⌊ x ⌋ , {displaystyle operatorname {excess} :[1,infty )to (0,1),,xmapsto x-lfloor xrfloor ,} ${displaystyle operatorname {excess} :[1,infty )to (0,1),,xmapsto x-lfloor xrfloor ,}$ được dùng để mô tả phần tử x ∈ R > 0 {displaystyle xin mathbb {R} _{>0}} ${displaystyle xin mathbb {R} _{>0}}$ bằng dãy số trong liên phân số [ n 0 ; n 1 , n 2 , … ] , {displaystyle left[n_{0};n_{1},n_{2},ldots right],} ${displaystyle left[n_{0};n_{1},n_{2},ldots right],}$ là dãy có được hàm floor và sau khi các phần lẻ đều đã được nghịch đảo. Đối với x {displaystyle x} ${displaystyle x}$ hữu tỷ, dãy kết thúc với biểu thức liên phân số chính xác của x , {displaystyle x,} ${displaystyle x,}$ và đối với x {displaystyle x} ${displaystyle x}$ vô tỷ toàn phương dãy trở thành liên phân số có chu kỳ.

Tập được sắp ( R > 0 , > ) {displaystyle left(mathbb {R} _{>0},>right)} ${displaystyle left(mathbb {R} _{>0},>right)}$ có thứ tự toàn phần nhưng không phải tập sắp thứ tự tốt.

Trong nghiên cứu các nhóm cổ điển, với mọi n ∈ N , {displaystyle nin mathbb {N} ,} ${displaystyle nin mathbb {N} ,}$ , hàm lấy định thức là ánh xạ từ các ma trận n × n {displaystyle ntimes n} ${displaystyle ntimes n}$ sang tập các số thực: M ( n , R ) → R . {displaystyle mathrm {M} (n,mathbb {R} )to mathbb {R} .} ${displaystyle mathrm {M} (n,mathbb {R} )to mathbb {R} .}$ Giới hạn sang chỉ còn các ma trận khả nghịch cho được ánh xạ từ nhóm tuyến tính tổng quát sang tập số thực khác không: G L ( n , R ) → R × . {displaystyle mathrm {GL} (n,mathbb {R} )to mathbb {R} ^{times }.} ${displaystyle mathrm {GL} (n,mathbb {R} )to mathbb {R} ^{times }.}$ Giới hạn tiếp sang các ma trận có định thức dương được ánh xạ sau GL + ⁡ ( n , R ) → R > 0 {displaystyle operatorname {GL} ^{+}(n,mathbb {R} )to mathbb {R} _{>0}} ${displaystyle operatorname {GL} ^{+}(n,mathbb {R} )to mathbb {R} _{>0}}$ ; coi ảnh của ánh xạ trên là nhóm thương bởi nhóm con chuẩn tắc SL ⁡ ( n , R ) ◃ GL + ⁡ ( n , R ) , {displaystyle operatorname {SL} (n,mathbb {R} )triangleleft operatorname {GL} ^{+}(n,mathbb {R} ),} ${displaystyle operatorname {SL} (n,mathbb {R} )triangleleft operatorname {GL} ^{+}(n,mathbb {R} ),}$ được gọi là nhóm tuyết tính đặc biệt, qua đó chứng minh rằng tập các số thực dương là nhóm Lie.

Nửa trường
Dấu (Toán học)
Số thực âm

Kist, Joseph; Leetsma, Sanford (1970). “Additive semigroups of positive real numbers”. Mathematische Annalen. Quyển 188 số 3. tr. 214-218. doi:10.1007/BF01350237.

Bản mẫu:Measure theory