Hệ thức lượng trong tam giác là một phần quan trọng của chương trình Toán lớp 10, giúp học sinh nắm vững mối quan hệ giữa các cạnh, góc và đường cao trong tam giác. Nắm chắc kiến thức này sẽ hỗ trợ giải nhanh các bài toán hình học và vận dụng trong nhiều dạng đề thi. Bài viết này tổng hợp 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác kèm hướng dẫn chi tiết, giúp các em vừa rèn kỹ năng vừa củng cố lý thuyết một cách hiệu quả.
Nhắc lại công thức hệ thức lượng trong tam giác
a. Định lí cosin
Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai góc còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.
Ta có hệ thức sau:
(a^2=b^2+c^2-2.b.c.coshat{A})
(b^2=a^2+c^2-2.a.c.coshat{B})
(c^2=a^2+b^2-2a.b.coshat{C})
b. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Gọi độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC là: (m_a,m_b,m_c) ta có:
(m_a^2=frac{b^2+c^2}{2}-frac{a^2}{4})
(m^2_b=dfrac{a^2+c^2}{2}-dfrac{b^2}{4})
(m^2_c=dfrac{b^2+a^2}{2}-dfrac{c^2}{4})
c. Định lí sin
Trong tam giác ABC bất kì, tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là:
(frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}=2R)
Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
d. Công thức diện tích tam giác
Giả sử (h_a,h_b,h_c) là các đường cao lần lượt kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Diện tích tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:
(begin{align} & S=frac{1}{2}.{{h}_{a}}.BC=frac{1}{2}{{h}_{b}}.AC=frac{1}{2}{{h}_{c}}.AB & S=frac{1}{2}a.b.sin widehat{C}=frac{1}{2}a.c.sin widehat{B}=frac{1}{2}c.b.sin widehat{A} & S=frac{a.b.c}{4.R} & S=p.r & S=sqrt{p.left( p-a right)left( p-b right)left( p-c right)} end{align})
Với p là nửa chu vi của tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài tập hệ thức lượng trong tam giác
Bài 1. Cho ΔABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13
a. Tính số đo các góc của ΔABC
b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ΔABC
c. Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
d. Tính độ dài đường cao nối từ các đỉnh của tam giác ABC
Hướng dẫn giải
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
(begin{align} & A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AC.BC.cos widehat{ACB} & Leftrightarrow {{12}^{2}}={{13}^{2}}+{{15}^{2}}-2.13.15.cos widehat{ACB} & Leftrightarrow cos widehat{ACB}=frac{25}{39}Rightarrow widehat{ACB}approx {{50}^{0}}7′ end{align})
(begin{align} & A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.cos widehat{ABC} & Leftrightarrow {{13}^{2}}={{12}^{2}}+{{15}^{2}}-2.12.15.cos widehat{ABC} & Leftrightarrow cos widehat{ABC}=frac{5}{9}Rightarrow widehat{ABC}approx {{56}^{0}}15′ end{align})
Ta có tổng 3 góc của một tam giác là ({{360}^{0}})
(Rightarrow widehat{BAC}=180-{{50}^{0}}7′-{{56}^{0}}15’={{73}^{0}}38′)
b. Ta có: (A{{M}^{2}}={{m}_{a}}^{2}=frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-frac{B{{C}^{2}}}{4}=frac{{{12}^{2}}+{{13}^{3}}}{2}-frac{{{15}^{2}}}{4}=frac{401}{4})
(Rightarrow AM=frac{sqrt{401}}{2})
Tương tự ta tính được:
(left{ begin{matrix} {{m}_{b}}=sqrt{dfrac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-dfrac{A{{C}^{2}}}{4}}=dfrac{sqrt{569}}{2} {{m}_{c}}=sqrt{dfrac{A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=sqrt{161} end{matrix} right.)
c. Để tính được diện tích một cách chính xác nhất ta sẽ áp dụng công thức Hê – rông
– Nửa chu vi tam giác ABC: (p=frac{AB+AC+BC}{2}=frac{12+13+15}{2}=20)
– Diện tích tam giác ABC: (S=sqrt{pleft( p-AB right)left( p-AC right)left( p-BC right)}=20sqrt{14})
– Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC:
({{S}_{ABC}}=frac{AB.AC.BC}{4.R}Rightarrow R=dfrac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=frac{12.13.15}{4.20sqrt{14}}=frac{117sqrt{14}}{28})
– Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC:
({{S}_{ABC}}=p.rRightarrow r=frac{{{S}_{ABC}}}{p}=frac{20sqrt{14}}{20}=sqrt{14})
d. Ta có: ({{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{h}_{a}}.BC=frac{1}{2}.{{h}_{b}}.AC=frac{1}{2}.{{h}_{c}}.AB)
(Rightarrow left{ begin{matrix}{{h}_{a}}=dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{BC}=dfrac{2.20sqrt{14}}{15}=dfrac{8sqrt{14}}{3} {{h}_{b}}=dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{AC}=dfrac{2.20sqrt{14}}{13}=dfrac{40sqrt{14}}{13} {{h}_{c}}=dfrac{2.{{S}_{ABC}}}{AB}=dfrac{2.20sqrt{14}}{12}=dfrac{10sqrt{14}}{3} end{matrix} right.)
Bài 2. Cho ΔABC có AB = 6, AC = 8, góc A = 1200
a. Tính diện tích ΔABC
b. Tính cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC
Hướng dẫn giải
a. Diện tích tam giác ABC: ({{S}_{ABC}}=frac{1}{2}.AB.AC.sin widehat{A}=frac{1}{2}.6.8.sin {{120}^{0}}=12sqrt{3})
b. Ta có:
(begin{align} & B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.cos widehat{A} & Rightarrow B{{C}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}-2.6.8.cos {{120}^{0}}=148 & Rightarrow BC=2sqrt{37} end{align})
– Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
({{S}_{ABC}}=frac{AB.AC.BC}{4.R}Rightarrow R=frac{AB.AC.BC}{4.{{S}_{ABC}}}=frac{6.8.2sqrt{37}}{4.12sqrt{3}}=frac{2sqrt{111}}{3})
Bài 3. Cho ΔABC có a = 8, b = 10, c = 13
a. ΔABC có góc tù hay không?
b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC
c. Tính diện tích ΔABC
HS: Tự giải
Bài 4. Cho ΔABC có góc A = 600, góc B = 450, b = 2. Tính độ dài cạnh a, c, bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và diện tích tam giác.
HS: Tự giải
Bài 5. Cho ΔABC: AC = 7, AB = 5. Tính BC, S, ha, R.
HS: Tự giải
Bài 6. Cho ΔABC có mb = 4, mc = 2 và a = 3, tính độ dài cạnh AB, AC.
HS: Tự giải
Bài 7. Cho ΔABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3√3. Tính cạnh BC.
HS: Tự giải
Bài 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4
HS: Tự giải
Bài 9. Tính góc A của ΔABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức b(b2 – a2) = c(a2 – c2)
HS: Tự giải
Bài 10. Cho ΔABC. Chứng minh rằng:
a. (frac{tan A}{tan B}=frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}})
b. ({{c}^{2}}={{left( a-b right)}^{2}}+4S.frac{1-cos C}{sin C})
c. (S=2{{R}^{2}}sin A.sin B.sin C)
d. (S=frac{1}{2}sqrt{{{overrightarrow{AB}}^{2}}.{{overrightarrow{AC}}^{2}}-{{left( overrightarrow{AB.}overrightarrow{AC} right)}^{2}}})
e. (a=b.cos C+c.cos B)
f. (sin A=frac{2}{bc}sqrt{pleft( p-a right)left( p-b right)left( p-c right)})
HS: tự giải
Bài 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:
a. (M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}+3G{{M}^{2}})
b. (4left( {{m}_{a}}^{2}+{{m}_{b}}^{2}+{{m}_{c}}^{2} right)=3left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} right))
HS: tự giải
Bài 12. Cho tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng
a. (sin B+sin C=2sin A)
b. (frac{2}{{{h}_{a}}}=frac{1}{{{h}_{b}}}+frac{1}{{{h}_{c}}})
HS: tự giải
Bài 13. Cho tam giác ABC biết (Aleft( 4sqrt{3},-1 right);Bleft( 0,3 right);Cleft( 8sqrt{3},3 right))
a. Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC.
b. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
HS: tự giải
Bài 14. Cho tam giác ABC biết (a=40,6;widehat{B}={{36}^{0}}20′,widehat{C}={{73}^{0}}). Tính (widehat{A}), cạnh b, c của tam giác đó.
HS: tự giải
Bài 15. Cho tam giác ABC biết (a=42,4m;b=36,6m;widehat{C}={{33}^{0}}10′). Tính số đo các góc A, B và độ dài cạnh c.
Bài 16. Để lấp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phải tránh một ngọn núi, do đó người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến B dài 8km. Biết góc tạo bởi 2 đoạn dây AC và CB là ({{75}^{0}}). Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thêm bao nhiêu mét dây?
HS: tự giải
Bài 17. 2 Vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết (widehat{CAB}={{87}^{0}},widehat{CBA}={{62}^{0}}). Hãy tính khoảng cách AC và BC.
HS: tự giải
Bài 18. Cho tam giác ABC có BC = a, (widehat{A}=alpha) và hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau thì ({{left( frac{2}{3}{{m}_{b}} right)}^{2}}+{{left( frac{2}{3}{{m}_{c}} right)}^{2}}={{a}^{2}})
(begin{align} & Leftrightarrow frac{4}{3}left( frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-frac{{{c}^{2}}}{4} right)+frac{4}{9}left( frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-frac{{{b}^{2}}}{4} right)={{a}^{2}} & Leftrightarrow 5{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}} end{align})
Mặt khác ({{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.cos A)
(begin{align} & Leftrightarrow {{a}^{2}}=5{{a}^{2}}-2bccos A & Rightarrow bc=frac{2{{a}^{2}}}{cos A}=frac{2{{a}^{2}}}{cos alpha } & Rightarrow {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}b.c.sin A={{a}^{2}}tan alpha end{align})
Bài 19: Cho tam giác ABC. Gọi ({{l}_{a}},{{l}_{b}},{{l}_{c}}) lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A, B, C. Chứng minh rằng:
a. ({{l}_{a}}=frac{2bc}{b+c}cos frac{A}{2})
b. (frac{cos frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}+frac{cos frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}+frac{cos frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c})
c. (frac{1}{{{l}_{A}}}+frac{1}{{{l}_{B}}}+frac{1}{{{l}_{C}}}>frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c})
Hướng dẫn giải
Trước hết chứng minh công thức (sin a=2sin frac{a}{2}.cos frac{a}{2}) bằng cách sử dụng tam giác cân tại đỉnh A có (widehat{A}=2a) thông qua công thức diện tích để đi đến kết luận trên
({{S}_{ABC}}=frac{1}{2}b.c.sin A,{{S}_{ABD}}=frac{1}{2}c.{{l}_{A}}.sin frac{A}{2},{{S}_{ACD}}=frac{1}{2}b.{{l}_{A}}.sin frac{A}{2})
Mà ({{S}_{ABC}}={{S}_{ABD}}+{{S}_{ACD}}Rightarrow {{l}_{A}}=frac{2bc}{b+c}.cos frac{A}{2})
b. (frac{cos frac{A}{2}}{{{l}_{A}}}=frac{1}{2}left( frac{b+c}{bc} right)=frac{1}{2b}+frac{1}{2c})
(begin{align} & frac{cos frac{B}{2}}{{{l}_{B}}}=frac{1}{2a}+frac{1}{2c} & frac{cos frac{C}{2}}{{{l}_{C}}}=frac{1}{2a}+frac{1}{2b} end{align})
c. Ta có (frac{cosfrac{A}{2}}{l_{A}} + frac{cosfrac{B}{2}}{l_{B}} + frac{cosfrac{C}{2}}{l_{C}} < frac{1}{l_{A}} + frac{1}{l_{B}} + frac{1}{l_{C}})
(Rightarrow frac{1}{l_{A}} + frac{1}{l_{B}} + frac{1}{l_{C}} > frac{1}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c})
Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi (m_{a},m_{b},m_{c}) lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C, (m = frac{m_{a} + m_{b} + m_{c}}{2}) . Chứng minh rằng
(S_{Delta ABC} = frac{3}{4}sqrt{mleft( m – m_{a} right)left( m – m_{b} right)left( m – m_{c} right)})
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa
Gọi D là điểm đối xứng của A qua
trọng tâm G. Ta có tứ giác GBDC là hình bình hành
Dễ thấy (S_{Delta GBD} = S_{Delta GBC} = S_{Delta AGB} = S_{Delta AGC} = frac{1}{3}S_{Delta ABC})
Mà (Delta GBD)có ba cạnh (frac{2}{3}m_{a},frac{2}{3}m_{b},frac{2}{3}m_{c})
(Rightarrow S_{Delta GBD} = left( frac{2}{3} right)^{2}sqrt{mleft( m – m_{a} right)left( m – m_{b} right)left( m – m_{c} right)})
(Rightarrow S_{Delta ABC} = 3S_{Delta GBD} = frac{3}{4}sqrt{mleft( m – m_{a} right)left( m – m_{b} right)left( m – m_{c} right)})
Bài 21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Chứng minh rằng (S_{square ABCD} = sqrt{(p – a)(p – b)(p – c)(p – d)})
Với (P = frac{a + b + c + d}{2})
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa
Do ABCD nội tiếp nên
(sinwidehat{ABC} = sinwidehat{ADC})
(coswidehat{ABC} = – coswidehat{ADC})
(S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = frac{1}{2}(ab + cd)sin B)
(= frac{1}{2}(ab + cd)sqrt{1 – cos^{2}B})
Trong tam giác (ABC)có (AC^{2} = a^{2} + b^{2} – 2abcos B)
Trong tam giác (ADC) có (AC^{2} = c^{2} + d^{2} – 2cdcos D)
(Rightarrow a^{2} + b^{2} – 2abcos B = c^{2} + d^{2} – 2cdcocD Leftrightarrow cos B = frac{left( a^{2} + b^{2} right) – left( c^{2} + d^{2} right)}{2(ab + cd)})
Do đó (S_{ABCD} = frac{1}{2}(ab + cd)sqrt{1 – cos^{2}B})
(= frac{1}{2}(ab + cd)sqrt{1 – left( frac{left( a^{2} + b^{2} right) – left( c^{2} + d^{2} right)}{2(ab + cd)} right)^{2}})
(= frac{1}{4}sqrt{4(ab + cd)^{2} – leftlbrack left( a^{2} + b^{2} right) – left( c^{2} + d^{2} right) rightrbrack^{2}})
(= frac{1}{4}sqrt{leftlbrack (a + b)^{2} – (c – d)^{2} rightrbrackleftlbrack (c + d)^{2} – (a – b)^{2} rightrbrack})
(= sqrt{left( frac{a + b + c – d}{2} right)left( frac{a + b – c + d}{2} right)left( frac{a – b + c + d}{2} right)left( frac{- a + b + c + d}{2} right)})
(Rightarrow S_{square ABCD} = sqrt{(p – a)(p – b)(p – c)(p – d)})Với (p = frac{a + b + c + d}{2})
Bài 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c chứng minh rằng
(frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2abc} = frac{cos A}{a} + frac{cos B}{b} + frac{cos C}{c})
Hướng dẫn giải:
Ta có (left( overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC} + overrightarrow{CA} right)^{2} = 0 Leftrightarrow AB^{2} + BC^{2} + CA^{2} + 2overrightarrow{AB}.overrightarrow{BC} + 2overrightarrow{BC}.overrightarrow{CA} + 2overrightarrow{AB}.overrightarrow{CA})
(Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2accos B + 2bccos A + 2abcos C)
(Leftrightarrow frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2abc} = frac{cos A}{a} + frac{cos B}{b} + frac{cos C}{c})
Bài 23. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c là (a = x^{2} + x + 1,b = 2x + 1,c = x^{2} – 1) chứng minh rằng tam giác có một góc bằng (120^{0}).
Hướng dẫn giải:
Điều kiện a, b, c là 3 cạnh của tam giác (left{ begin{matrix} x^{2} – 1 > 0 2x + 1 > 0 x^{2} – 1 + 2x + 1 > x^{2} + x + 1 end{matrix} right. Leftrightarrow x > 1)
Với (x > 1) thì a > b và a > c nên a là cạnh lớn nhất
Tính (cos A = – frac{1}{2} Rightarrow widehat{A} = 120^{0}).
Bài 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có
a. (cot A + cot B + cot C = frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{abc}R)
b. (sinfrac{A}{2} = sqrt{frac{(p – b)(p – c)}{bc}})
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa
a. Sử dụng định lí sin và cosin.
b. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp
Ta có (S_{Delta ABC} = pr = frac{1}{2}bcsin A = bcsinfrac{A}{2}.cosfrac{A}{2} (1))
Từ hình vẽ:
(r = (p – a)tanfrac{A}{2} Rightarrow frac{S_{Delta ABC}}{p} = (p – a)tanfrac{A}{2} (2))
Từ (1) và (2) (frac{left( S_{Delta ABC} right)^{2}}{p} = (p – a)tanfrac{A}{2}bcsinfrac{A}{2}.cosfrac{A}{2})
(Leftrightarrow frac{p(p – a)(p – b)(p – c)}{p} = bc(p – a)sinfrac{A}{2})
(Rightarrow sinfrac{A}{2} = sqrt{frac{(p – b)(p – c)}{bc}})
Bài 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi (S_{Delta ABC} = frac{1}{4}(a + b – c)(a + c – b))
Hướng dẫn giải:
Theo Hê rong (S_{Delta ABC} = sqrt{left( frac{a + b + c}{2} right)left( frac{a + b – c}{2} right)left( frac{a – b + c}{2} right)left( frac{- a + b + c}{2} right)})
(Rightarrow (a + b – c)^{2}(a + c – b)^{2}) (= (a + b + c)(a + b – c)(a – b + c)( – a + b + c))
(Rightarrow (a + b – c)(a + c – b) = (a + b + c)( – a + b + c) Leftrightarrow b^{2} + c^{2} = a^{2})
Suy ra tam giác ABC vuông tại A
Bài 26 Cho tam giác ABC. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: (frac{r}{R} leq frac{1}{2})
Hướng dẫn giải:
(r = frac{S}{p},R = frac{abc}{4S} Rightarrow frac{r}{R} = frac{S^{2}}{pabc})
(= frac{4p(p – a)(p – b)(p – c)}{pabc}) (= frac{4(p – a)(p – b)(p – c)}{abc})
Mà (sqrt{(p – a)(p – b)} leq frac{2p – a – b}{2} = frac{c}{2})
(sqrt{(p – a)(p – c)} leq frac{2p – a – c}{2} = frac{b}{2})
Bài 33. Cho tam giác ABC có sin2B + sin2C = 2sin2A. Chứng minh rằng: A ≤600.
Hướng dẫn giải
Ta có:
sin2B + sin2C = 2sin2A ⇔ b2+ c2 = 2a2
Khi đó:
(cos A = frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}} = frac{{{b^2} + {c^2} – frac{{{b^2} + {c^2}}}{2}}}{{2bc}})(= frac{{{b^2} + {c^2}}}{{4bc}} geqslant frac{1}{2} = cos {60^0}).
Bài 34. Cho tam giác ABC có ({a^{frac{4}{3}}} + {b^{frac{4}{3}}} = {c^{frac{4}{3}}}). Chứng minh rằng có một góc tù.
Hướng dẫn giải
Ta có: ({a^{frac{4}{3}}} + {b^{frac{4}{3}}} = {c^{frac{4}{3}}})
(Leftrightarrow {c^4} = {left( {{a^{frac{4}{3}}} + {b^{frac{4}{3}}}} right)^3})(= {a^4} + {b^4} + 3{a^{frac{4}{3}}}.{b^{frac{4}{3}}}left( {{a^{frac{4}{3}}} + {b^{frac{4}{3}}}} right))
(geqslant {a^4} + {b^4} + {a^{frac{4}{3}}}.{b^{frac{4}{3}}}left( {{a^{frac{4}{3}}} + {b^{frac{4}{3}}}} right))(geqslant {a^4} + {b^4} + 2{a^{frac{4}{3}}}.{b^{frac{4}{3}}}.{a^{frac{2}{3}}} + {b^{frac{2}{3}}})
(= {a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2} = {left( {{a^2} + {b^2}} right)^2})
(Rightarrow {c^2} > {a^2} + {b^2})
Mà (cos C = frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}} < 0 Rightarrow C geqslant {90^0}).
Bài 35. Tam giác ABC có a2 + b2 + c2 = 36r2 thì có tính chất gì?
Hướng dẫn giải
Ta có:
({a^2} + {b^2} + {c^2} = frac{{36.{S^2}}}{{{p^2}}} = 36.frac{{left( {p – a} right)left( {p – b} right)left( {p – c} right)}}{p})
(= 36frac{{sqrt {left( {p – b} right)left( {p – c} right)} .sqrt {left( {p – a} right)left( {p – c} right)} .sqrt {left( {p – a} right)left( {p – b} right)} }}{p})
Ta có:
(2sqrt {left( {p – b} right)left( {p – c} right)} leqslant left( {2p – b + 2p – c} right) = a)
Suy ra (frac{{sqrt {left( {p – b} right)left( {p – c} right)} .sqrt {left( {p – a} right)left( {p – c} right)} .sqrt {left( {p – a} right)left( {p – b} right)} }}{p} leqslant frac{{abc}}{{8p}})
(Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} leqslant frac{{9abc}}{{a + b + c}})(Leftrightarrow left( {a + b + c} right)left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} right) leqslant 9abc)
Mà ({a^2} + {b^2} + {c^2} geqslant ab + bc + ca)
(Rightarrow left( {a + b + c} right)left( {ab + bc + ca} right) leqslant 9abc)
(Leftrightarrow a{left( {b – c} right)^2} + b{left( {c – a} right)^2} + c{left( {a – b} right)^2} leqslant 0)
(Leftrightarrow a = b = c)
Vậy tam giác ABC có a2 + b2 + c2 = 36r2 thì tam giác đó là tam giác đều.
–
Việc luyện tập thường xuyên với bài tập hệ thức lượng trong tam giác sẽ giúp học sinh thành thạo kỹ năng tính toán, tăng tốc độ làm bài và hạn chế sai sót. Bộ 35 bài tập có hướng dẫn này sẽ là tài liệu hữu ích để ôn luyện, chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra, thi học kỳ và các kỳ thi quan trọng. Hãy kết hợp học lý thuyết với làm bài tập thường xuyên để đạt kết quả cao nhất.
