Bài này mình xin được giải thích bản chất của 3 khái niệm quan trọng bậc nhất trong đại số giải tích là đạo hàm, tích phân và vi phân để chỉ ra chúng có ý nghĩa như thế nào.
Bài viết này sẽ không đi sâu vào chứng minh công thức, định nghĩa mà chỉ tập trung vào nói rõ bản chất của đạo hàm, tích phân và vi phân.
Nếu bạn đã từng có một thời dữ dội cày đề đại học ngày xưa thì chắc không thể quên được bài toán đầu đề là khảo sát hàm số, tính tiếp tuyến đồ thị, bài toán tính đạo hàm hay tích phân. Lúc đó chúng ta chỉ cắm cúi vào cày đề chứ cũng ít ai quan tâm tới bản chất nó là cái gì, nó để làm gì và không hiểu tại sao nó lại có được công thức loằng ngoằng như thế.
Thực ra nếu bạn hiểu tiếng hán của 3 từ đạo hàm, tích phân và vi phân thì bạn sẽ mường tượng được ý nghĩa của nó.
Mình xin đi vào từng mục.
Xét hàm số y = f(x) thì:
Đạo (tiếng hán 導) nghĩa là chỉ dẫn, chỉ đạo, nó cũng nằm trong các từ: đạo diễn, chỉ đạo, lãnh đạo,…
Hàm (tiếng hán 函) nghĩa là bao hàm, cái để chứa vào, từ hàm này cũng chính là từ hàm trong từ hàm số.
Gộp 2 từ lại bạn sẽ hiểu nó là một nơi chứa sự chỉ đạo, tức là thứ chỉ đạo sự biến thiên của hàm số f(x) là sẽ tăng hay giảm và tăng hay giảm nhanh hay chậm.
Khi đề cập tới “đạo hàm” thì chúng ta mặc định đang nói về đạo hàm cấp 1, còn nếu muốn chỉ rõ là đạo hàm cấp lớn hơn 1 thì nói rõ ra nó là cấp mấy, ví dụ đạo hàm cấp 2, cấp 3,…
Đạo hàm của f(x) là một thứ (ký hiệu là f’(x)) nhằm mô tả sự biến thiên tức thời của hàm f(x) tại một điểm x xác định nào đó. Giá trị của đạo hàm tại x0 chính là giá trị của độ dốc (hay hệ số góc) của đường tiếp tuyến với hàm số f(x) tại x0 (xem phần độ dốc phía dưới).
- Nếu tại điểm x0 giá trị hàm số đang tăng thì f'(x0) > 0, đang giảm thì f'(x0) < 0, còn nếu f'(x0) = 0 thì hàm số đang tại chóp ở x0 và chuẩn bị đổi chiều, nhưng muốn biết là đổi từ chiều nào sang chiều nào thì phải xét đạo hàm cấp 2 (giải thích phía dưới).
- Nếu tại điểm x0 mà |f'(x0)| lớn thì hàm số đang tăng (hoặc giảm) nhanh, còn nếu |f'(x0)| nhỏ thì hàm số đang tăng (hoặc giảm) chậm.
Qua đó ta biết được ứng dụng chủ yếu của đạo hàm là cho biết được sự phụ thuộc của 2 hay nhiều đại lượng, như ở ví dụ trên thì x tăng thì y tăng hay giảm và tăng hay giảm nhanh hay chậm? Ứng dụng này rất quan trọng trong rất nhiều lĩnh vực đời sống vì ta không cần khảo sát, đo đạc thực tế để kiểm chứng điều này mà chỉ cần ứng dụng đạo hàm vào để tính.
Làm sao để mô tả được sự biến thiên tức thời của y = f(x) tại x0?
Như bạn đã biết, ví dụ dễ hiểu nhất và chính xác nhất cho sự biến thiên tức thời này chính là vận tốc của một chất điểm chuyển động, nó được tính bằng quãng đường tức thời (giá trị tính theo f(x)) chia cho thời gian tức thời (giá trị tính theo x) đi được quãng đường tức thời đó.
Sự biến thiên tức thời tại điểm x0 này chính là sự biến thiên của f(x) khi x dịch chuyển một đoạn cực kỳ nhỏ từ x0 tới x1, hiệu x1 – x0 = ∆x = dx nhỏ đến mức gần như bằng 0 (không thể tuyệt đối bằng 0 được vì nếu thế sẽ là không dịch chuyển, mà không dịch chuyển thì không thể có khái niệm độ biến thiên tức thời được).
Tức là đạo hàm của y tại x0 là y’ = f'(x) = f(x1) – f(x0)x1 – x0 khi ∆x tiến dần tới 0.
<=> y’ = f'(x) =lim∆x→0f(x0 + ∆x) – f(x0)∆x = dydx
Về mặt hình học, đạo hàm tại x0 của f(x) chính là hệ số góc (hay độ dốc) của đường thẳng tiếp tuyến với hàm số y = f(x) tại điểm x0 (chứng minh thì bạn tham khảo thêm ở http://math2it.com/tai-sao-tiep-tuyen-cua-o-thi-ham-so-lai/).
Nếu hàm số f(x) có đường thẳng tiếp tuyến tại x0 thì mới có đạo hàm tại x0, ngược lại sẽ không có đạo hàm tại x0.
Công thức đạo hàm: y’ = f’(x) = dydx
Độ dốc
Độ dốc (hay hệ số góc) cho biết được hàm số tại điểm xác định đang tăng (hay giảm) một cách nhay hay chậm.
Độ dốc của một đường thẳng trên một mặt phẳng được định nghĩa là tỉ lệ giữa sự thay đổi ở tọa độ y chia cho sự thay đổi ở tọa độ x: m = ∆y∆x = tan(θ)
Độ dốc của tiếp tuyến của hàm số f(x) tại x0 được tính bằng cách tính đạo hàm tại x0 như đã nói ở trên.
Vì sao lại đặt tên là độ dốc?
Vì khi nó càng dốc thì hàm số thay đổi càng nhanh và ngược lại.
Ví dụ khi độ dốc = 3 nghĩa là nếu tọa độ x thay đổi nhanh một thì tọa độ y tương ứng sẽ thay đổi nhanh gấp xấp xỉ 3 (không phải tuyệt đối = 3).
Đạo hàm cấp 2
Đạo hàm cấp 2 tại một điểm x0 trên đồ thị f(x) cho biết là đường cong của f(x) tại điểm x0 đó đang “cong” hướng lên trên hay xuống dưới. Điều này có ý nghĩa trong việc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của đồ thị.
Phía trên ta đã biết có thể tính được chóp của đồ thị bằng cách cho đạo hàm cấp 1 bằng 0 (vì đồ thị đổi chiều khi f'(x) = 0) nhưng ta không biết được là nó đang đổi chiều từ đi xuống sang đi lên hay từ đi lên sang đi xuống.
- Nếu đồ thị f(x) đang đổi từ đi xuống sang đi lên nghĩa là đường cong của đồ thị tại chóp đang “cong” hướng lên và giá trị tại chóp chính là giá trị nhỏ nhất.
- Ngược lại, nếu đồ thị f(x) đang đổi từ đi lên sang đi xuống nghĩa là đường cong của đồ thị tại chóp đang “cong” hướng xuống và giá trị tại chóp chính là giá trị lớn nhất.
Để nhận biết đồ thị đang “cong” hướng lên hay xuống tại điểm x0 thì ta chỉ cần tính đạo hàm cấp 2 tại x0 là được:
- Nếu f”(x0) > 0 thì đồ thị đang “cong” hướng lên, và nếu f(x) có chóp tại x0 thì f(x) có giá trị nhỏ nhất tại x0.
- Ngược lại, nếu f”(x0) < 0 thì đồ thị đang “cong” hướng xuống, và nếu f(x) có chóp tại x0 thì f(x) có giá trị lớn nhất tại x0.
Công thức đạo hàm cấp 2: y” = f”(x) = dydx’ = d2ydx2
Nguyên hàm
Phần nguyên hàm mình cho vào phần con của đạo hàm vì nguyên hàm được định nghĩa từ đạo hàm, ngược lại của tìm đạo hàm là tìm nguyên hàm.
Từ f(x) nếu ta tìm được hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) thì F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x).
Có vô số hàm số F(x) như vậy vì đạo hàm của hằng số bằng 0, do đó họ các nguyên hàm của f(x) sẽ có dạng là F(x) = biểu thức phụ thuộc vào x + hằng số C
Ví dụ f(x) = x2 thì F(x) = x33 + C
Chữ vi (tiếng hán 微) nghĩa là nhỏ (như vi khuẩn, vi sinh vật, tinh vi).
Chữ phân (tiếng hán 分, cũng đọc là phần) nghĩa là từng phần (như phân nửa, phân chia, phân phát).
Vi phân nghĩa là từng phần rất nhỏ, áp dụng vào hàm số là khi chia một hàm số ra từng phần rất nhỏ.
Vi phân là hiệu giá trị của hàm số y tại mỗi đoạn nhỏ dx = ∆x = x1 – x0, ví dụ x chạy một đoạn rất nhỏ từ x0 tới x1 thì vi phân (đoạn nhỏ của y) cũng chính là giá trị biến thiên tức thời f’(x) nhân với khoảng tham số biến thiên (hiểu đơn giản nó chính là quãng đường thay đổi tức thời = vận tốc biến thiên tức thời x thời gian tức thời trong khoảng biến thiên đó).
Vi phân của hàm số y = f(x) ký hiệu là dy hay df(x)
Công thức vi phân: dy = df(x) = f(x1) – f(x0) = f’(x)dx = y’dx
Như vậy xét về mặt công thức thì vi phân của hàm tại x0 = đạo hàm của hàm tại x0 nhân với sự thay đổi rất nhỏ của x sát với x0 (là dx).
Nhưng xét về mặt ý nghĩa thì đạo hàm và vi phân không có quan hệ gì với nhau hết. Đạo hàm dựa vào tỉ số dy/dx để ám chỉ sự biến đổi tức thì, còn vi phân dựa vào y’dx để lấy từng phần rất nhỏ trên hàm số y = f(x).
Chữ tích (tiếng hán 積) nghĩa là chồng chất, chất đống lên nhau (như tích góp, tích lũy).
Chữ phân (tiếng hán 分) đã nói ở trên.
=> Tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ.
Và mỗi phần nhỏ này là tích của dx và f(x).
Đến đây ta có thể nhận ra tích phân và vi phân mang ý nghĩa trái ngược nhau, một thằng là tính tổng các phần nhỏ còn một thằng là tách thành các phần nhỏ. Nó chỉ ngược nhau về mặt ý nghĩa chứ không phải ngược nhau về nội dung công thức, vì công thức của vi phân là f’(x)dx còn của tích phân là tổng của các phần nhỏ f(x)dx.
Vì có cách tính như vậy nên tích phân xác định khi x chạy từ a tới b cũng chính là diện tích của hình tạo bởi đồ thị hàm số f(x) và các đường thẳng x = a, x = b (Chứng minh cho điều này thì bạn xem lại sách giải tích).
Công thức tích phân: ∫abf(x)dx
Ta đã để cập tới được mối quan hệ của đạo hàm và vi phân, của vi phân và tích phân rồi, thế còn mối quan hệ của đạo hàm và tích phân là gì?
Nhìn vào công thức và về mặt ý nghĩa rõ ràng ta không thấy có mối quan hệ nào giữa đạo hàm và tích phân, nhưng từ đạo hàm ta lại có thể tính được tích phân, đó chính là nội dung của công thức Newton-Leibniz:
Giả sử muốn tính tích phân của hàm số f(x) khi x chạy từ a tới b thì:
Công thức Newton-Leibniz: S =∫abf(x)dx = g(b) – g(a) với g(x) là nguyên hàm của f(x)
Vậy để tính tích phân xác định của một hàm số, nếu ta xác định được nguyên hàm của nó (nguyên hàm là thứ ngược lại của đạo hàm => mối quan hệ của đạo hàm và tích phân chính là thông qua nguyên hàm) thì ta sẽ dễ dàng tính được ngay.
Ta rút ra được mối quan hệ của đạo hàm, tích phân và vi phân như sau:
- Đạo hàm – Vi phân: Xét về mặt công thức thì vi phân của hàm tại x0 = đạo hàm của hàm tại x0 nhân với dx. Nhưng xét về mặt ý nghĩa thì đạo hàm và vi phân không có quan hệ gì với nhau hết. Đạo hàm dựa vào tỉ số dy/dx để ám chỉ sự biến đổi tức thì, còn vi phân dựa vào y’dx để lấy từng phần rất nhỏ trên hàm số y = f(x).
- Tích phân – Vi phân: Tích phân và vi phân mang ý nghĩa trái ngược nhau, một thằng là tính tổng các phần nhỏ còn một thằng là tách thành các phần nhỏ. Nó chỉ ngược nhau về mặt ý nghĩa chứ không phải ngược nhau về nội dung công thức, vì công thức của vi phân là f’(x)dx còn của tích phân là tổng của các phần nhỏ f(x)dx.
- Đạo hàm – Tích phân: Từ đạo hàm có biểu thức là f(x) ta tính ngược lại nguyên hàm F(x), từ nguyên hàm F(x) ta sẽ dễ dàng tính được tích phân xác định của f(x).
