Biết \(\sin \alpha = - \frac{1}{6}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\), tính:
Đề bài
Biết \(\sin \alpha = - \frac{1}{6}\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\), tính:
a) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right);\)
b) \(\cos 2\alpha ;\)
c) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right);\)
d) \(\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right).\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng các hệ thức cơ bản của góc lượng giác để tính \(\cos \alpha ,\tan \alpha \). Áp dụng các công thức nhân đôi, công thức cộng để tính các giá trị lượng giác bài yêu cầu.
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{{35}}{{36}}\\ \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt {35} }}{6}\\ \Rightarrow \tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt {35} }}\end{array}\)
a) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3} = - \frac{1}{6}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{{\sqrt {35} }}{6}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt {105} - 1}}{{12}}\)
b) \(\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = \frac{{35}}{{36}} - {\left( { - \frac{1}{6}} \right)^2} = \frac{{17}}{{18}}\)
c) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \alpha }}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }} = \frac{{1 - \frac{1}{{\sqrt {35} }}}}{{1 + \frac{1}{{\sqrt {35} }}}} = \frac{{18 - \sqrt {35} }}{{17}}\)
d) \({\cos ^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{\cos \alpha + 1}}{2} = \frac{{ - \frac{{\sqrt {35} }}{6} + 1}}{2} = \frac{{6 - \sqrt {35} }}{{12}}\)
Mà \(\frac{\pi }{2} < \frac{\alpha }{2} < \frac{{3\pi }}{4}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = - \sqrt {\frac{{6 - \sqrt {35} }}{{12}}} \)
