Phương trình \(\sin x = \cos x\) có số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là
Đề bài
Phương trình \(\sin x = \cos x\) có số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là
A. 2.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng công thức giữa các giá trị lượng giác của các góc liên quan để đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản. Giải phương trình tìm x thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\).
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}\sin x = \cos x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - x = x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - x = - x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\\frac{\pi }{2} = k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} - k\pi \\k = \frac{1}{4}\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ - \pi \le x \le \pi \Leftrightarrow - \pi \le \frac{\pi }{4} - k\pi \le \pi \Leftrightarrow - \frac{{5\pi }}{4} \le - k\pi \le \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \frac{5}{4} \ge k \ge - \frac{3}{4}\\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{4}; - \frac{{3\pi }}{4}} \right\}\end{array}\)
Chọn đáp án A.
