Phương pháp quy nạp toán học

1

Câu hỏi mục 1 trang 26, 27, 28, 29

Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa... HĐ Khám phá   Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây, Một học sinh phát hiện ra công thức sau: \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\quad (1)\) a) Hãy chỉ ra công thức (1) đúng với \(n = 1,2,3,4,5.\) b) Từ việc tô màu trên lưới ô vuông như Hình 1, bạn học sinh khẳng định rằng công thức (1) chắc chắn đúng với mọi số...

Xem chi tiết →

2

Câu hỏi mục 2 trang 30, 31

Chứng minh rằng ({n^3} + 2n) chia hết cho 3 với mọi (n in mathbb{N}*) Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa... Thực hành 3 Chứng minh rằng \({n^3} + 2n\) chia hết cho 3 với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)Phương pháp giải:Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\) Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết...

Xem chi tiết →

3

Bài 1 trang 32

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\): Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa... Đề bài Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\): a) \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\) b) \(1 + 4 + 9 + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\) c) \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{n - 1}} = {2^n} - 1\) Phương pháp giải - Xem chi tiết Chứng minh...

Xem chi tiết →

4

Bài 2 trang 32

Chứng minh rằng, với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có: Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa... Đề bài Chứng minh rằng, với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có: a) \({5^{2n}} - 1\) chia hết cho 24. b) \({n^3} + 5n\) chia hết cho 6. Lời giải chi tiết a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạpVới \(n = 1\) ta có \({5^2} - 1 = 24\) chia hết cho 24.Vậy a) đúng với \(n = 1\)Giải sử a) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \({5^{2k}}...

Xem chi tiết →

5

Bài 3 trang 32

Chứng minh rằng nếu \(x > - 1\) thì \({(1 + x)^n} \ge 1 + nx\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa... Đề bài Chứng minh rằng nếu \(x >  - 1\) thì \({(1 + x)^n} \ge 1 + nx\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) Lời giải chi tiết Ta chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạpVới \(n = 1\) ta có \({(1 + x)^1} = 1 + 1.x\)Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)Giải sử mệnh đề đúng với \(n = k\) nghĩa là...

Xem chi tiết →

6

Bài 4 trang 32

Cho \(a,b \ge 0\). Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa... Đề bài Cho \(a,b \ge 0\). Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) \(\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^n}\) Lời giải chi tiết Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạpVới \(n = 1\) ta có \(\frac{{{a^1} + {b^1}}}{2} =...

Xem chi tiết →

7

Bài 5 trang 32

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\). Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa... Đề bài Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\). \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} > \frac{{2n}}{{n + 1}}\) Lời giải chi tiết Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạpVới \(n = 2\) ta có \(1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > \frac{{2.2}}{{2 + 1}} =...

Xem chi tiết →

8

Bài 6 trang 32

Trong mặt phẳng, cho đa giác\({A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\) có n cạnh \((n \ge 3)\). Gọi \({S_n}\) là tổng số đo các góc trong của đa giác. Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa... Đề bài Trong mặt phẳng, cho đa giác\({A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\) có n cạnh \((n \ge 3)\). Gọi \({S_n}\) là tổng số đo các góc trong của đa giác. a) Tính \({S_3},{S_4},{S_5}\) tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác. b) Từ...

Xem chi tiết →

9

Bài 7 trang 32

Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa... Đề bài Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hàng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi \({T_n}(n \ge 1)\) là tổng tiền vốn và lãi của nười đó có trong ngân hàng...

Xem chi tiết →