Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE.
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE.
a) Xác định ảnh của các điểm D và C quay phép quay tâm A với góc quay \(\varphi = 60^\circ .\)
b) Chứng minh rằng DC = BE.
c) Chứng minh rằng số đo góc giữa hai đường thẳng DC và BE bằng 60°.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào kiến thức phép quay:
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác \(\varphi \) không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho \(OM = OM'\) và góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay \(\varphi \), kí hiệu \({Q_{\left( {O,\varphi } \right)}}\). O gọi là tâm quay, \(\varphi \) gọi là góc quay.
Lời giải chi tiết
a) + Vì tam giác ABD đều nên AD = AB và \(\widehat {DAB} = 60^\circ \).
Phép quay với góc quay φ = 60° có chiều quay ngược chiều kim đồng hồ. Do đó, ảnh của điểm D phép quay tâm A với góc quay \(\varphi = 60^\circ \) là điểm B.
+ Vì tam giác ACE đều nên AC = AE và \(\widehat {CAE} = 60^\circ \).
Do đó, ảnh của điểm C phép quay tâm A với góc quay \(\varphi = 60^\circ \) là điểm E.
b) Theo câu a) ta có B và E lần lượt là ảnh của D và C qua phép quay tâm A với góc quay \(\varphi = 60^\circ \), suy ra DC = BE (phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì).
c) Gọi O là giao điểm của DC và BE, I là giao điểm của AB và DC.
Ta có phép quay tâm A với góc quay φ = 60° biến góc ADC thành góc ABE nên \(\widehat {ADC} = \widehat {ABE}\) hay \(\widehat {ADI} = \widehat {IBO}\).
Mà \(\widehat {AID} = \widehat {BIO}\) (2 góc đối đỉnh), \(\widehat {ADI} + \widehat {AID} + \widehat {DAI} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác ADI) và \(\widehat {IBO} + \widehat {BIO} + \widehat {IOB} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác IBO).
Từ đó suy ra \(\widehat {DAI} = \widehat {IOB}\) hay \(\widehat {DOB} = \widehat {DAB} = 60^\circ \).
Như vậy, số đo góc giữa hai đường thẳng DC và BE bằng 60°.
