Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 8 tất cả các môn - Cánh diều
Toán - Văn - Anh - Khoa học tự nhiên
Đề bài
Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a) \(M = \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} - 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\)
b) \(N = \left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\)
c) \(P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} - xy} \right):\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Rút gọn các biểu thức để cho giá trị của biểu thức là một hằng số thì giá trị của biểu thức sẽ không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Lời giải chi tiết
a) Rút gọn biểu thức \(M\) ta có:
\(\begin{array}{l}M = \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} - 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\\ = \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}.\frac{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}{{{x^2} - 4{y^2}}}\\ = \frac{{\left( {x - 2y} \right).{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{3\left( {x + 2y} \right).\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{1}{3}\end{array}\)
Ta thấy \(M = \frac{1}{3}\) vậy giá trị của biểu thức \(M\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.
b) Rút gọn biểu thức \(N\) ta có:
\(\begin{array}{l}N = \left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\\ = \left( {\frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x - y}}{{y\left( {x - y} \right)}} + \frac{{2y}}{{y\left( {x - y} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{{{x^2} + xy - {x^2} - {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x - y + 2y}}{{y\left( {x - y} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{{xy - {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{y\left( {x - y} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{{y\left( {x - y} \right)}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{y\left( {x - y} \right)}}} \right)\\ = 1\end{array}\)
Ta thấy \(N = 1\) vậy giá trị của biểu thức \(N\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.
c) Rút gọn biểu thức \(P\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} - xy} \right):\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \left( {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}}{{x + y}} - xy} \right):\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \left( {{x^2} - xy + {y^2} - xy} \right):\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{{x^2} + {y^2} - 2xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{x - y}}{{x + y}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{x + y}}{{x + y}} = 1\end{array}\)
Ta thấy \(P = 1\) vậy giá trị của biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.
