Chứng minh rằng với số (a > 0,b > 0) bất kì, ta luôn có (frac{a}{b} + frac{b}{a} ge 2).
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 9 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - KHTN - Lịch sử và Địa lí
Đề bài
Chứng minh rằng với số \(a > 0,b > 0\) bất kì, ta luôn có \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh hiệu \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \ge 0\), suy ra \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\) với mọi \(a > 0,b > 0\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}}\)
Với \(a > 0,b > 0\) thì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,ab > 0\), suy ra \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 0\).
Do đó, \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\) với mọi \(a > 0,b > 0\).
