Tìm số tự nhiên \(n\) để \({n^3} - {n^2} + n - 1\) là số nguyên tố.
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 8 tất cả các môn - Cánh diều
Toán - Văn - Anh - Khoa học tự nhiên
Đề bài
Tìm số tự nhiên \(n\) để \({n^3} - {n^2} + n - 1\) là số nguyên tố.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tìm số tự nhiên \(n\) là số nguyên tố.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\({n^3} - {n^2} + n - 1 = \left( {{n^3} - {n^2}} \right) + \left( {n - 1} \right) = {n^2}\left( {n - 1} \right) + \left( {n - 1} \right) = \left( {{n^2} + 1} \right)\left( {n - 1} \right)\)
Với mọi số tự nhiên \(n\), ta có: \(n - 1 < {n^2} + 1\). Do đó, để \({n^3} - {n^2} + n - 1\) là số nguyên tố thì \(n - 1 = 1\). Suy ra \(n = 2\). Khi đó \({n^3} - {n^2} + n - 1 = 5\) là số nguyên tố.
Vậy \(n = 2\) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.
