Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; - 1),B(1;4) và C(7;0).
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(2; - 1),\,\,B(1;4)\) và \(C(7;0).\)
a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(AB,\,\,BC\) và \(CA.\) Từ đó suy ra tam giác \(ABC\) là một tam giác vuông cân.
b) Tìm tọa độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABDC\) là một hình vuông.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính độ dài đoạn thẳng \(AB,\,\,AC,\,\,BC\)
- Áp dụng định lý Pi-ta-go đảo để chứng minh \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\)
- Sử dụng tích chất hai vectơ bằng nhau để tìm điểm \(D\): \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {26} \)
\(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {26} \)
\(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \)
Xét \(\Delta ABC\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = 26 + 26 = 52 = B{C^2}\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)
mặt khác \(AB = AC = \sqrt {26} \)
nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\)
b) Gọi điểm \(D\) có tọa độ là: \(D(x;y).\)
Xét hình vuông \(ABDC\) có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \\ \Leftrightarrow \,\,(1 - 2;4 + 1) = (x - 7;y - 0)\\ \Leftrightarrow \,\,( - 1;5) = (x - 7;y)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 7 = - 1}\\{y = 5}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy \(D(6;5)\)
