Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như H4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 7 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Khoa học tự nhiên...
Đề bài
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như H4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh ABCD là hình bình hành có 1 góc vuông
- Chứng minh AB // CD, AD // CB (Sử dụng các cặp góc so le trong bằng nhau)
- Chứng minh \(\Delta ABD\) = \(\Delta DCA\)
Lời giải chi tiết
Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OCD\) có:
\(OA = OC\)
\(OB = OD\)
\(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó \(\Delta OAB = \Delta OCD\left( {c - g - c} \right)\)
Suy ra AB = DC, \(\widehat {BAO} = \widehat {OCD}\) (cạnh tương ứng và góc tương ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
Nên \(AB\parallel CD\)
Tương tự: \(\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right) \)
Suy ra AD = BC, \(\widehat {OAD} = \widehat {OCB}\) (cạnh tương ứng và góc tương ứng)
Do đó \(AD\parallel BC\)
Vì vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta DCA\) có:
AB = DC
BD = AC
AD: Cạnh chung
Do đó \(\Delta ABD = \Delta DCA\left( {c - c - c} \right)\)
Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CDA} = \dfrac{{\widehat {BAD} + \widehat {CDA}}}{2} = \dfrac{{{{180}^\circ}}}{2} = {90^\circ}\)
Vậy hình bình hành ABCD có 1 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
