Cho tứ diện đều (ABCD)có cạnh bằng(a), côsin của góc giữa đường thẳng (AB) và mặt phẳng (left( {BCD} right))bằng
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề bài
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\), côsin của góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng
A. \(\frac{1}{3}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
D. \(\frac{1}{2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chóp có các cạnh bên bằng nhau có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
- Góc giữa đường và mặt là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
Gọi \(M\)là trung điểmcủa \(CD,O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(BCD\) ⇒ \(AO \bot (BCD)\).
Khi đó \(OB\)là hình chiếu vuông góc của \(AB\) lên \((BCD)\).
\( \Rightarrow (AB;(BCD)) = (AB;OB) = \widehat {ABO}\).
Tam giác \(BCD\) đều cạnh a nên \(BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BO = \frac{{2BM}}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có \(AO \bot (BCD)\) nên \(AO \bot OB\), suy ra \(\Delta ABO\) vuông tại \(O\).
⇒ \(cos\widehat {ABO} = \frac{{OB}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy \(\cos (AB,(BCD)) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
