Gần đây tui có nghĩ về toán, và tui nhận ra là tui có thể dùng Đồng nhất thức Euler [eix = cos(x) + i*sin(x)] để định nghĩa logarit của số phức. Đây là cách làm: mấy bạn trả lời câu hỏi này chắc biết là bất kỳ số phức a+bi nào cũng có thể biến đổi thông qua đồng nhất thức Euler thành dạng reix, trong đó r là bán kính từ gốc tọa độ và x là góc mà bán kính này tạo với trục thực. Cái này có thể biến đổi tiếp thành e[ln(r)+ix]. Nên nếu tui có một số phức z = e[ln(r)+ix], tui có thể lấy logarit tự nhiên của cả hai vế để được ln(z) = ln(r) + ix
Cái này, tự nó đã đủ điên rồi. Tui được dạy suốt năm lớp 11 và 12 là không được lấy log của số âm, vậy mà phương trình này lại cho phép và cho ra kết quả nhất quán với nhau và với công thức Euler. Ví dụ, logarit tự nhiên của -1 là i(pi). Logarit tự nhiên của i là (1/2)i(pi); ln(i) bằng một nửa ln(-1), vì i là căn bậc hai của -1. Tui đang bị lạc đề rồi.
Việc tính logarit tự nhiên của số phức cho phép có logarit với cơ số phức. Bắt đầu với ln(x) = y, rồi áp dụng công thức đổi cơ số bằng cách chuyển về dạng mũ {ey = x}, lấy logarit phức của cả hai vế {log_z(ey) = log_z(x)}, dùng tính chất logarit để đưa y ra trước {y*log_z(e) = log_z(x)}, rồi thay y bằng giá trị tương đương từ phương trình ban đầu {ln(x)log_z(e) = log_z(x)}. Vậy nên, có thể lấy logarit phức miễn là chúng ta có thể tính log_z(e), mà chúng ta có thể. Biết rằng z = reix = e[ln(r)+ix], câu hỏi là “Chúng ta nên đặt lũy thừa nào lên e[ln(r)+ix] để được e? Câu trả lời, tất nhiên, là 1/[ln(r)+ix]. Vậy nên phương trình của tui từ trước trở thành log_z(x) = ln(x)/[ln(r)+ix]. Cái này cho phép nhiều thứ thú vị, như logarit với cơ số âm hoặc ảo.
Tui xin lỗi nếu cái này có vẻ lan man và không giống một câu hỏi lắm. Câu hỏi của tui là, tất cả những điều này có hợp lệ về mặt toán học không? Nó đã được khám phá chưa? Nó đã được khám phá, nhưng bị bỏ qua vì lý do tương tự như 0/0 à? Tại sao thầy cô lại bảo tui không được lấy log của số âm?
