Bài viết Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện.
Cách tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện
(199k) Xem Khóa học Toán 9 KNTTXem Khóa học Toán 9 CDXem Khóa học Toán 9 CTST
A. Phương pháp giải
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p là một số thực)
B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .
B2- Áp dụng định lý Vi – ét tìm:
B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình:
B4- Thay x1 và x2 vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số.
2. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |x1 – x2| = k(k ∈ R)
– Bình phương trình hai vế: (x1 – x2)2 = k2 ⇔ … ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = k2
– Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 thay vào biểu thức ⇒ kết luận.
3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:
B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0)
B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 (*)
+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α
Ta có: . Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m
+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α
Ta có: (*).Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m
+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2
Ta có: (x1 – α)(x2 – α) < 0 (*). Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m
Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – (2m – 1)x + m2 – 1 = 0 (x là ẩn số)
a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình đã cho thỏa mãn (x1 – x2)2 = x1 – 3×2
Giải
a) Δ = (2m – 1)2 – 4.(m2 – 1)= 4m2 – 4m + 1 – 4m2 + 4 = 5- 4m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0 ⇔ 5 – 4m > 0 ⇔ m <
b) Phương trình có hai nghiệm ⇔ m ≤
Kết hợp với điều kiện (thỏa mãn) là các giá trị cần tìm.
Vậy với m = 1 hoặc m = – 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 – x2)2 = x1 – 3×2.
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – 10mx + 9m = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình đã cho với m = 1.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1 – 9×2 = 0.
Giải
a) Với m = 1 phương trình đã cho trở thành x2 – 10x + 9 = 0.
Ta có: a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là
b) Δ’ = (-5m)2 – 1.9m = 25m2 – 9m
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là Δ’ > 0 ⇔ 25m2 – 9m > 0
Theo hệ thức Vi-ét ta có
Từ (*) và giả thiết ta có hệ phương trình:
Thay vào phương trình (**) ta có:
Với m = 0 ta có Δ’ = 25m2 – 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Với m = 1 ta có Δ’ = 25m2 – 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Kết luận: Vậy với m = 1thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa điều kiện x1-9×2 = 0
Ví dụ 3: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2
Giải
a) Ta có: Δ = [-2(m – 1)]2 – 4.1.(2m – 5) = 4m2 – 12m + 22
= (2m)2 – 2.2m.3 + 9 + 13 = (2m-3)2 + 13 > 0 (luôn đúng với mọi m)
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có: x1 < 1 < x2 ⇒ ⇒(x1 – 1)(x2 – 1) < 0⇒x1 x2 – (x1+x2)+1 < 0 (II)
Thay (I) vào (II) ta có: (2m – 5) – (2m – 2) + 1 < 0 ⇔ 0.m – 2 < 0 (đúng với mọi m).
Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2
B. Bài tập
Câu 1: Cho phương trình x2 – (2m + 2)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
A. m = 0
B. m = 1
C. m = 3
D. m = 4
Giải
Phương trình x2 – (2m + 2)x + 2m = 0 ⇔ x2 – 2(m + 1)x + 2m = 0
Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x1, x2 là
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
Đáp án đúng là A
Câu 2: Cho phương trình x2 + 2x – m2 – 1 = 0 (m là tham số)
Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn x1 = -3×2
A. m = 3
B. m = ±1
C. m = ±√2
D. m = -2
Giải
Ta có: Δ’ = 12 – 1.(-m2 – 1)=1 + m2 + 1 = m2 + 2 > 0 (luôn đúng với mọi m)
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo Vi-ét ta có:
Ta có: x1 + x2 = -2 (do trên) và x1 = -3×2 nên có hệ phương trình sau:
Thay (*) vào biểu thức x1.x2 = -m2 – 1 ta được:
Vậy m = ±√2 là các giá trị cần tìm.
Đáp án đúng là C
Câu 3: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + m – 1 = 0 (m là tham số)
Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện . Tính tích của các giá trị đó
Giải
Δ’ = (m + 1)2 – (m2 + m – 1) = m2 + 2m + 1 – m2 – m + 1 = m + 2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
Do đó:
Kết hợp với điều kiện m > -2 là các giá trị cần tìm.
Đáp án đúng là C
Câu 4: Cho phương trình (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn
Giải
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ≥ 0
Phương trình có nghiệm khác 0
Kết hợp với điều kiện ta có
Vậy là các giá trị cần tìm.
Đáp án đúng là B
Câu 5: Cho phương trình (m là tham số).
Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
A. m = ±2
B. m = ±√2
C. m = – 1
D. m = 0
Giải
Ta có: , luôn đúng với mọi m
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.
Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1, x2.
Áp dụng Vi-et ta có:
Theo đề bài x1, x2 là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có:
Vậy m = ±2 là các giá trị cần tìm.
Đáp án đúng là A
Câu 6: Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 với x là ẩn số.
Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức x12 = 4×22.
A. m = ±2
B. m = ±1
C. m = -6
D. m = 3
Giải
Ta có: Δ’ = (-1)2 – (-2m2 )= 1 + 2m2 > 0
Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 theo hệ thức Vi-ét:
Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.
Đáp án đúng là A
Câu 7: Cho phương trình x2 – 5x + m = 0 (m là tham số).
Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2| = 3.
A. m = 2
B. m = 4
C. m = 6
D. m = 8
Giải
Ta có: ∆ = 25 – 4m
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì
Theo Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 5 (1) và x1.x2 = m (3)
Mặt khác theo giả thiết ta có: |x1 – x2| = 3 (2)
Giải hệ (1) và (2):
Với x1 = 4, x2 = 1 thay vào (3) ta được m = 4
Với x1 = 1, x2 = 4 thay vào (3) ta được m = 4
m = 4 thỏa mãn điều kiện (*) , vậy m = 4 là giá trị cần tìm
Đáp án đúng là B
Câu 8: Cho phương trình bậc hai x2 + 2(m – 1)x – (m + 1)= 0
Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn 1.
Giải
Ta có:
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Theo hệ thức Vi- ét ta có:
Để phương trình có một nghiệm lớn hơn , một nghiệm nhỏ hơn 1 thì (x1 – 1)(x2 – 1) < 0
Đáp án đúng là C
Câu 9: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0
Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2
A. m > – 1
B. m > 2
C. m < 2
D. m < 0
Giải
Ta có:
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Theo hệ thức Vi- ét ta có:
Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì:
Vậy đáp án đúng là D
Câu 10: Cho phương trình x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0
Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn -3 < x1 < x2 < 6
A. m > 1
B. -2 < m < 2
C. -4 < m < 4
D. m < 3
Giải
Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Vì -3 < x1 < x2 < 6 nên
Vậy -4 < m < 4.
Đáp án đúng là C
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
a) x2 + 2x + m = 0;
b) – x2 + 2mx – m2 – m = 0;
c) mx2 – 3(m + 1)x + m2 – 13m – 6 = 0.
Bài 2. Cho phương trình x2 – (- 4m – 1)x + 2(m – 4) = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) x2 – x1 = 17;
b) Biểu thức A = (x1 – x2)2 có giá trị nhỏ nhất;
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 3. Cho phương trình x2 – 5x + m + 4 = 0 (m là tham số). Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để phương trình thỏa mãn:
x1(1 – 3×2) + x2(1 – 3×1) = m2 – 23.
Bài 4. Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 6 = 0.
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt;
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt;
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x12+x22;;
d) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x13+x23=19
Bài 5. Cho hai phương trình x2 – mx – m – 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
a) Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x13+x23=-1;
b) Có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1-x2≥3;
c) Có hai nghiệm x1, x2. Từ đó, hãy lập phương trình bậc hai có u và v là nghiệm biết rằng u=x1+1×2 và v=x2+1×1.
(199k) Xem Khóa học Toán 9 KNTTXem Khóa học Toán 9 CDXem Khóa học Toán 9 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Cách lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó
- Tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu
- Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số | Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 độc lập với m
- Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
