Với tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (Lý thuyết Toán 12 Kết nối tri thức)
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTT
Bài giảng: Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số – Cô Trần Oanh (Giáo viên VietJack)
Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1. Đường tiệm cận ngang
Đường thẳng y = y0 gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu limx→+∞f(x)=y0 hoặc limx→-∞f(x)=y0.
Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2x−1 .
Hướng dẫn giải
Ta có limx→+∞y=limx→+∞2x−1=0 ; limx→−∞y=limx→−∞2x−1=0 .
Vậy y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng x = x0 gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
limx→x0+fx=+∞;limx→x0−fx=−∞;limx→x0+fx=−∞;limx→x0−fx=+∞
Ví dụ 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=3x+6x−2 .
Hướng dẫn giải
Ta có limx→2+y=limx→2+3x+6x−2=+∞;limx→2−y=limx→2−3x+6x−2=−∞ .
Do đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
3. Đường tiệm cận xiên
Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu limx→+∞fx−ax+b=0 hoặc limx→−∞fx−ax+b=0.
Ví dụ 3. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=fx=2x+1−1x+2 .
Hướng dẫn giải
Ta có limx→+∞fx−2x+1=limx→+∞−1x+2=0 ;
limx→−∞fx−2x+1=limx→−∞−1x+2=0.
Do đó y = 2x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Chú ý:
Ta biết rằng nếu đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) thì limx→+∞fx−ax+b=0 hoặc limx→−∞fx−ax+b=0.
Do đó limx→+∞[f(x)-(ax+b)].1x=0 hoặc limx→-∞[f(x)-(ax+b)].1x=0.
Từ đây suy ra a=limx→+∞fxx hoặc a=limx→−∞fxx.
Khi đó, ta có b=limx→+∞fx−ax hoặc b=limx→−∞fx−ax.
Ngược lại, với a và b xác định như trên, đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x). Đặc biệt, nếu a = 0 thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
Ví dụ 4. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=fx=x2−2xx+1 .
Hướng dẫn giải
Ta có a=limx→+∞fxx=limx→+∞x2−2xx2+x=1; b=limx→+∞fx−x=limx→+∞−3xx+1=−3.
Tương tự limx→−∞fxx=1; limx→−∞fx−x=−3.
Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 3.
Nhận xét:
Trong thực hành, để tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức trong ví dụ 4, ta viết:
y=fx=x2−2xx+1=x−3+3x+1.
Ta có limx→+∞fx−x−3=limx→+∞3x+1=0; limx→−∞fx−x−3=limx→−∞3x+1=0.
Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 3.
Bài tập Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài 1. Đồ thị hàm số y=1−3xx+2 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
A. x = −2 và y = −3. B. x = −2 và y = 1.
C. x = −2 và y = 3. D. x = 2 và y = 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Có limx→−2+y=limx→−2+1−3xx+2=+∞;limx→−2−y=limx→−2−1−3xx+2=−∞
Do đó x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Có limx→+∞y=limx→+∞1−3xx+2=−3;limx→−∞y=limx→−∞1−3xx+2=−3.
Do đó y = −3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
Trong các mệnh đề sau về hàm số y = f(x), mệnh đề nào đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1.
B. Hàm số nghịch biến trên ℝ.
C. Hàm số đồng biến trên ℝ.
D. Hàm số có một điểm cực trị.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).
+) Hàm số không có cực trị
+) Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bài 3. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2x+1x+1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = ℝ{−1}.
limx→−1−y=limx→−1−2x+1x+1=+∞;limx→−1+y=limx→−1+2x+1x+1=−∞
Do đó đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
limx→+∞y=limx→+∞2x+1x+1=2;limx→−∞y=limx→−∞2x+1x+1=2.
Do đó đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bài 4. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=x2+x+1x+1.
Hướng dẫn giải
Tập xác định: D = ℝ{−1}.
Có limx→−1+y=limx→−1+x2+x+1x+1=+∞;limx→−1−y=limx→−1−x2+x+1x+1=−∞
Do đó đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Có y=x2+x+1x+1=x+1x+1.
Có limx→+∞y−x=limx→+∞x+1x+1−x=limx→+∞1x+1=0;
limx→−∞y−x=limx→−∞x+1x+1−x=limx→−∞1x+1=0.
Do đó đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bài 5. Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức ft=26t+10t+5 (f(t) được tính bằng nghìn người).
Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +∞). Hãy tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Hướng dẫn giải
Ta có limt→+∞ft=limt→+∞26t+10t+5=limt→+∞26+10t1+5t=26 .
Do đó y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Trên nửa khoảng [0; +∞) đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Học tốt Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Các bài học để học tốt Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán lớp 12 hay khác:
-
Giải sgk Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTT
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay khác:
-
Lý thuyết Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
-
Lý thuyết Toán 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
-
Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 1
-
Lý thuyết Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian
-
Lý thuyết Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:
- Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
- Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
- Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
- Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
