Phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng
Phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P),$ với $d$ cắt $(P).$ Gọi $Q$ là mặt phẳng chứa $d$ và $Qbot (P),$ do đó $Delta =(P)cap (Q)$ và $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left[ overrightarrow{{{n}_{P}}},overrightarrow{{{n}_{Q}}} right]=left[ overrightarrow{{{n}_{P}}},left[ overrightarrow{{{u}_{d}}},overrightarrow{{{n}_{P}}} right] right],$ tìm một điểm thuộc $Delta $ là $A=dcap (P).$
>>Xem thêm Phương trình đường phân giác của góc nhọn và tù của tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:dfrac{x-1}{2}=dfrac{y+5}{-1}=dfrac{z-3}{4}.$ Phương trình nào dưới đây là phương trình của hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $x+3=0?$
A. $left{ begin{align} & x=-3 & y=-5-t & z=-3+4t end{align} right..$
B. $left{ begin{align} & x=-3 & y=-5+t & z=3+4t end{align} right..$
C. $left{ begin{align} & x=-3 & y=-5+2t & z=3-t end{align} right..$
D. $left{ begin{align} & x=-3 & y=-6-t & z=7+4t end{align} right..$
Giải. Gọi $Q$ là mặt phẳng chứa $d$ và $Qbot (P),$ do đó $Delta =(P)cap (Q)$ và
$overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left[ overrightarrow{{{n}_{P}}},overrightarrow{{{n}_{Q}}} right]=left[ overrightarrow{{{n}_{P}}},left[ overrightarrow{{{u}_{d}}},overrightarrow{{{n}_{P}}} right] right]=(0;1;-4)$ và dễ có $dcap (P)=A(-3;-3;-5)in Delta ,$
Vậy $dcap (P)=A(-3;-3;-5)in Delta ,$ đối chiếu đáp án nhận D.
Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:dfrac{x}{1}=dfrac{y-1}{1}=dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $left( P right):x+2y+z-4=0.$ Hình chiếu vuông góc của $d$ trên $left( P right)$ là đường thẳng có phương trình là
A. $dfrac{x}{2}=dfrac{y+1}{1}=dfrac{z+2}{-4}.$
B. $dfrac{x}{3}=dfrac{y+1}{-2}=dfrac{z+2}{1}.$
C. $dfrac{x}{2}=dfrac{y-1}{1}=dfrac{z-2}{-4}.$
D. $dfrac{x}{3}=dfrac{y-1}{-2}=dfrac{z-2}{1}.$
Dễ có $dcap left( P right)=Aleft( 0;1;2 right).$
Giải. Gọi $left( Q right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)Rightarrow left{ begin{gathered}hfill overrightarrow{{{n}_{Q}}}bot overrightarrow{{{u}_{d}}}left( 1;1;-1 right) hfill overrightarrow{{{n}_{Q}}}bot overrightarrow{{{n}_{P}}}left( 1;2;1 right) end{gathered} right.Rightarrow overrightarrow{{{n}_{Q}}}=left[ overrightarrow{{{u}_{d}}},overrightarrow{{{n}_{P}}} right].$Khi đó $left( P right)cap left( Q right)=Delta =mathbf{h/c}left( mathbf{d,}left( mathbf{P} right) right)$ có một véctơ chỉ phương là $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left[ overrightarrow{{{n}_{P}}},overrightarrow{{{n}_{Q}}} right]=left[ overrightarrow{{{n}_{P}}},left[ overrightarrow{{{u}_{d}}},overrightarrow{{{n}_{P}}} right] right]=left( 4;2;-8 right)//left( 2;1;-4 right).$
Do đó $Delta :dfrac{x}{2}=dfrac{y-1}{1}=dfrac{z-2}{-4}.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:dfrac{x}{1}=dfrac{y-1}{1}=dfrac{z-2}{-1}$ và $Delta :dfrac{x}{2}=dfrac{y-1}{1}=dfrac{z-2}{-4}.$ Biết rằng $Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $left( P right).$ Phương trình của $left( P right)$ là
A. $3x-2y+z=0.$
B. $x+2y+z+4=0.$
C. $x+2y+z-4=0.$
D. $x+6y+2z-10=0.$
Giải. Ta có $Aleft( 0;1;2 right)in Delta Rightarrow Ain left( P right)$
Gọi $left( Q right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và $Delta $ thì $left( Q right)$ vuông góc với $left( P right)$
$Rightarrow overrightarrow{{{n}_{P}}}bot overrightarrow{{{u}_{Delta }}};overrightarrow{{{n}_{P}}}bot overrightarrow{{{n}_{Q}}}Rightarrow overrightarrow{{{n}_{P}}}=left[ overrightarrow{{{u}_{Delta }}},overrightarrow{{{n}_{Q}}} right]=left[ overrightarrow{{{u}_{Delta }}},left[ overrightarrow{{{u}_{Delta }}},overrightarrow{{{u}_{d}}} right] right]//left( 1;2;1 right)$
Do đó $left( P right):x+2y+z-4=0.$ Chọn đáp án C.
>Cách xác định nhanh toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác trong không gian Oxyz
Ví dụ 4: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:dfrac{x-1}{2m+1}=dfrac{y+3}{2}=dfrac{z+1}{m-2},mnotin left{ -frac{1}{2},2 right}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-6=0.$ Gọi $Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $(P).$ Có bao nhiêu số thực $m$ để $Delta $ vuông góc với véctơ $overrightarrow{a}(-1;0;1).$
Giải. Gọi $left{ begin{gathered} (Q) supset d hfill (Q) bot (P) hfill end{gathered} right. Rightarrow overrightarrow {{n_Q}} = left[ {overrightarrow {{u_d}} ,overrightarrow {{n_P}} } right] = (4 – m; – m – 3;2m – 1).$
Khi đó $Delta =(P)cap (Q)Rightarrow overrightarrow{{{u}_{Delta }}}=left[ overrightarrow{{{n}_{Q}}},overrightarrow{{{n}_{P}}} right]=(-3m-2;3m-5;7).$
Vì $Delta bot overrightarrow{a}Leftrightarrow overrightarrow{{{u}_{Delta }}}.overrightarrow{a}=0Leftrightarrow -1(-3m-2)+7=0Leftrightarrow m=-3.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 5: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $left( P right):x+2y+z-4=0$ và $left( R right):x+2y+3z-8=0.$ Đường thẳng $d$ nằm trong $left( R right),$ hình chiếu vuông góc của $d$ trên $left( P right)$ là đường thẳng $Delta :dfrac{x}{2}=dfrac{y-1}{1}=dfrac{z-2}{-4}.$ Phương trình của $d$ là
A. $dfrac{x}{3}=dfrac{y-1}{-3}=dfrac{z-2}{1}.$
B. $dfrac{x}{2}=dfrac{y-1}{5}=dfrac{z-2}{-4}.$
C. $dfrac{x}{1}=dfrac{y-1}{1}=dfrac{z-2}{-1}.$
D. $dfrac{x}{1}=dfrac{y-1}{-2}=dfrac{z-2}{1}.$
Giải. Gọi $left( Q right)=mpleft( d,Delta right)Rightarrow left( Q right)bot left( P right)Rightarrow overrightarrow{{{n}_{Q}}}=left[ overrightarrow{{{u}_{Delta }}},overrightarrow{{{n}_{P}}} right]=left( -9;6;-3 right)||left( 3;-2;1 right)$$Rightarrow left( Q right):3x-2y+z=0$
Khi đó $d=left( Q right)cap left( R right)Rightarrow d:dfrac{x}{1}=dfrac{y-1}{1}=dfrac{z-2}{-1}.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 6: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $Aleft( 2;0;1 right),Bleft( 1;1;2 right)$ và mặt phẳng $left( P right):2x+y-2z+2=0.$ Gọi $d$ là đường thẳng nằm trong $left( P right)$ cắt $AB$ sao cho góc giữa $AB$ với $d$ và $left( P right)$ bằng nhau. Khoảng cách từ $A$ đến $d$ bằng
A. $dfrac{4}{3}.$
B. $dfrac{1}{3}.$
C. $dfrac{8}{3}.$
D. $3.$
Giải. Vì $d$ là đường thẳng nằm trong $left( P right)$ cắt $AB$ sao cho góc giữa $AB$ với $d$ và $left( P right)$ bằng nhau nên $d$ chính là hình chiếu vuông góc của $AB$ lên $left( P right)Rightarrow AHbot dRightarrow AHbot left( P right)Rightarrow dleft( A,d right)=AH=dleft( A,left( P right) right)=dfrac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.
Bài tập tự luyện:
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):x+y-3z-3=0$ và đường thẳng $d:dfrac{x-1}{2}=dfrac{y}{-3}=dfrac{z+2}{1}.$ Gọi ${d}’$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $(P).$ Tìm một véctơ chỉ phương của ${d}’.$
A. $overrightarrow{{{u}_{1}}}=(26;-29;-1).$
B. $overrightarrow{{{u}_{2}}}=(13;-10;-1).$
C. $overrightarrow{{{u}_{3}}}=(1;2;-1).$
D. $overrightarrow{{{u}_{4}}}=(6;9;5).$ .
Phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua mặt phẳng
Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $left( P right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:dfrac{x}{1}=dfrac{y+1}{2}=dfrac{z-2}{-1}$. Đường thẳng $d’$ đối xứng với $d$ qua mặt phẳng $left( P right)$ có phương trình là
A. $dfrac{x+1}{1}=dfrac{y+1}{-2}=dfrac{z+1}{7}.$
B. $dfrac{x-1}{1}=dfrac{y-1}{2}=dfrac{z-1}{7}.$
C. $dfrac{x-1}{1}=dfrac{y-1}{-2}=dfrac{z-1}{7}.$
D. $dfrac{x+1}{1}=dfrac{y+1}{2}=dfrac{z+1}{7}.$
Giải. Ta có $dcap (P)=I(1;1;1).$ Gọi $B$ là điểm đối xứng của $A(0;-1;2)in d$ qua mặt phẳng $(P) Leftrightarrow left{ begin{gathered} dfrac{x}{1} = dfrac{{y + 1}}{1} = dfrac{{z – 2}}{1} hfill 1left( {dfrac{{x + 0}}{2}} right) + 1left( {dfrac{{y – 1}}{2}} right) + 1left( {dfrac{{z + 2}}{2}} right) – 3 = 0 hfill end{gathered} right. Rightarrow Bleft( {dfrac{4}{3};dfrac{1}{3};dfrac{{10}}{3}} right).$
Đường thẳng cần tìm qua hai điểm $I,B$ có véctơ chỉ phương $overrightarrow{IB}left( dfrac{1}{3};-dfrac{2}{3};dfrac{7}{3} right)//(1;-2;7).$ Đối chiếu các đáp án chọn C.
Phương trình hình chiếu song song của đường thẳng lên mặt phẳng
Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:dfrac{x-1}{2}=dfrac{y+2}{4}=dfrac{z-3}{1}.$ Hình chiếu song song của $d$ lên mặt phẳng $(Ozx)$ theo phương của véctơ $overrightarrow{u}(-1;-1;1)$ là
Giải. Ta có $Bleft( 2;0;dfrac{7}{2} right)=dcap (Ozx):y=0.$ Gọi $A(1;-2;3)in d$ và $M(x;y;z)$ là hình chiếu song song của $A$ lên mặt phẳng $(Ozx)$ theo phương của véctơ $overrightarrow{u}(-1;-1;1)$ ta có điều kiện:
$left{ begin{gathered} M in (Ozx) hfill overrightarrow {AM} = k( – 1; – 1;1) hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} y = 0 hfill x – 1 = – k hfill y + 2 = – k hfill z – 3 = k hfill end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} x = 3 hfill y = 0 hfill z = 1 hfill k = – 2 hfill end{gathered} right. Rightarrow M(3;0;1).$
Đường thẳng cần tìm qua hai điểm $B,M$ có $overrightarrow{BM}left( 1;0;-dfrac{5}{2} right)//(2;0;-5).$ Đối chiếu các đáp án chọn C.
Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:dfrac{x-1}{2}=dfrac{y-2}{1}=dfrac{z+1}{3}$và mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0.$ Đường thẳng là hình chiếu của $d$ theo phương $Ox$ lên mặt phẳng $(P)$ có phương trình là
Giải. Chọn $Aleft( 1;2;-1 right)in d$ và $Bleft( dfrac{4}{3};dfrac{13}{6};-dfrac{1}{2} right)=dcap left( P right).$
Gọi $Mleft( a;b;c right)$ là hình chiếu của $A$ lên [left( P right)] theo phương $Ox.$ Khi đó $overrightarrow{AM}left( a-1;b-2;c+1 right).$
Do $overrightarrow{AM}$ cùng phương với $Ox$ nên $overrightarrow {AM} = k(1;0;0) Leftrightarrow left{ begin{gathered} b – 2 = 0 hfill c + 1 = 0 hfill end{gathered} right. Rightarrow b = 2,c = – 1.$
Do $Min left( P right)$ nên $a+b+c=3Leftrightarrow a=2.$ Khi đó ${d}’$ qua $Bleft( dfrac{4}{3};dfrac{13}{6};-dfrac{1}{2} right)$ và $Mleft( 2;2;-1 right).$
Có $overrightarrow{BM}left( dfrac{2}{3};-dfrac{1}{6};-dfrac{1}{2} right)//(4;-1;-3).$ Vậy ${d}’:dfrac{x-2}{4}=dfrac{y-2}{-1}=dfrac{z+1}{-3}.$ Chọn đáp án B.
