Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 8 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Khoa học tự nhiên
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh ΔHBM ∽ ΔHAN
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh \(\widehat {HAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ABH}\) và \(\frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{BM}}{{AN}}\) suy ra ΔHBM ∽ ΔHAN
Lời giải chi tiết
Xét \(\Delta BAC\) và \(\Delta BHA\) có:
\(\widehat A = \widehat H\)
\(\widehat B\) chung
nên \(\Delta BAC \backsim \Delta BHA\left( g.g \right)\)
suy ra \(\frac{{BA}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{HA}} \)
Do đó \(\frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{BA}}{{AC}}(1)\)
Xét \(\Delta BAC\) và \(\Delta AHC\) có:
\(\widehat A = \widehat H\)
\(\widehat C\) chung
nên \(\Delta BAC \backsim \Delta AHC\left( g.g \right)\)
suy ra \(\widehat {HAC} = \widehat {ABC} (2)\)
Vì M là trung điểm của AB nên \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{1}{2}\)
Vì N là trung điểm của AC nên \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)
Suy ra \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{AN}}{{AC}}\)
do đó \(\frac{{BM}}{{AN}} = \frac{{BA}}{{AC}}(3)\)
Từ (1), (3) suy ra: \(\frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{BM}}{{AN}}\)
Xét hai tam giác HBM và HAN có:
\(\widehat {HAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ABH}\)
\(\frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{BM}}{{AN}}\)
suy ra \(\Delta HBM \backsim \Delta HAN\) (c.g.c)
