Xét hàm số \(y = 3{x^4} - 2{x^2} + x\)
Hoạt động 1
Xét hàm số \(y = 3{x^4} - 2{x^2} + x\)
a) Tính \(y'\)
b) Tính đạo hàm của \(y'\)
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức \({\left( {{x^n}} \right)^,} = n.{x^{n - 1}}\)
b) Áp dụng công thức \({\left( {{x^n}} \right)^,} = n.{x^{n - 1}}\), \({C^'} = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) \(y' = \left( {3{x^4} - 2{x^2} + x} \right) = 3.4{x^3} - 2.2x + 1 = 12{x^3} - 4x + 1\)
b) Đạo hàm của \(y'\) là \(\left( {12{x^3} - 4x + 1} \right)' = 12.3{x^2} - 4.1 + 0 = 36{x^2} - 4\)
Luyện tập 1
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y = 1 - 3\cos 3x\)
b) \(y = {e^{3{x^2} + x}}\)
Phương pháp giải:
+) Tính \(y'\)
+) Sau đó tính đạo hàm của \(y'\) ta thu được \(y''\)
+) Áp dụng công thức \(\left( {\cos u} \right)' = - u'.\sin u;\,\,\,\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\); \(\left( {{e^u}} \right)' = u'.{e^u}\)
+) \(\left( {u.v} \right)' = u'.v + v'.u\)
Lời giải chi tiết:
a) \(y' = \left( {1 - 3\cos 3x} \right)' = 3.\sin 3x.\left( {3x} \right)' = 9\sin 3x\)
\(y'' = \left( {9\sin 3x} \right)' = 9.\cos 3x.\left( {3x} \right)' = 27\cos 3x\)
b) \(y' = \left( {{e^{3{x^2} + x}}} \right)' = \left( {3{x^2} + x} \right)'.{e^{3{x^2} + x}} = \left( {6x + 1} \right).{e^{3{x^2} + x}}\)
\(y'' = \left( {6x + 1} \right)'.{e^{3{x^2} + x}} + \left( {6x + 1} \right).\left( {{e^{3{x^2} + x}}} \right)' = 6.{e^{3{x^2} + x}} + {\left( {6x + 1} \right)^2}.{e^{3{x^2} + x}}\)
\( = \left( {36{x^2} + 12x + 7} \right).{e^{3{x^2} + x}}\)
