Một vật có khối lượng M nằm yên trên mặt phẳng ngang không ma sát, được nối với một lò xo nhẹ có độ cứng k . Đầu còn lại của lò xo được kéo chuyển động với vận tốc không đổi u (trục lò xo luôn nằm ngang). Hỏi độ biến dạng cực đại của lò xo trong quá trình này bằng bao nhiêu?

Concepts

Định luật bảo toàn động lượng, Định luật bảo toàn năng lượng, Dao động cơ, Lực đàn hồi của lò xo, Động năng, Thế năng đàn hồi, Chuyển động tương đối

Explanation

Khi đầu tự do của lò xo được kéo với vận tốc không đổi u, vật bắt đầu chuyển động. Ban đầu hệ đứng yên, chỉ đầu lò xo được kéo đi. Khi lò xo căng dần, vật M bắt đầu chuyển động theo. Độ biến dạng lò xo đạt cực đại khi vận tốc tương đối giữa đầu kéo và vật M là 0 (tức là vận tốc của vật M = u). Tại thời điểm này, toàn bộ chuyển động của đầu lò xo đã được “truyền” cho vật M, và lò xo kéo căng cực đại.

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng và năng lượng toàn phần:

• Ban đầu: động năng chỉ có đầu lò xo (vận tốc u)
• Cuối cùng: động năng của vật M (vận tốc u) + thế năng đàn hồi cực đại (do biến dạng cực đại)

Step-By-Step Solution

Step 1

Đặt:

• Khối lượng vật: M
• Độ cứng lò xo: k
• Vận tốc kéo đầu lò xo: u
• Độ biến dạng cực đại: xmax​

Step 2

Ban đầu, vật đứng yên. Đầu lò xo gắn vào tường, bắt đầu chuyển động với vận tốc u. Khi kéo đủ lâu, vật cũng đạt vận tốc u. Lúc này, vận tốc tương đối giữa hai đầu lò xo là 0 nên lò xo đạt biến dạng cực đại.

Bảo toàn động lượng (chọn hệ ban đầu đứng yên):

• Tổng động lượng ban đầu: 0
• Tổng động lượng khi vật đạt vận tốc u: Mu
• Tuy nhiên, lực truyền động hoàn toàn từ đầu lò xo kéo.

Bảo toàn năng lượng:

• Công của lực kéo đầu lò xo sẽ biến thành động năng của vật M và thế năng đàn hồi của lò xo.
• Tức là: 21​Mu2+0=21​Mu2+21​kxmax2​ Nhưng thực ra, đầu lò xo được kéo với vận tốc không đổi nên cần tính phần động năng của vật và thế năng của lò xo khi kéo xong.

Khi vật đạt vận tốc u (và lò xo kéo giãn cực đại):

• Động năng của vật: 21​Mu2
• Thế năng lò xo: 21​kxmax2​

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho phần năng lượng truyền vào hệ:

• Toàn bộ công lực kéo đã chuyển thành động năng của vật và thế năng đàn hồi.

Công thực hiện bởi lực kéo bằng thay đổi động lượng của hệ. Nếu tính theo hệ quy chiếu đầu lò xo (vì đầu lò xo chuyển động đều), ta có:

Ban đầu động năng hệ = 0 Khi vật đạt vận tốc u, động năng của vật M là 21​Mu2, thế năng đàn hồi của lò xo là 21​kxmax2​.

Với hệ không ma sát, cơ năng bảo toàn: 21​kxmax2​=21​Mu2

Step 3

Rút ra xmax​: 21​kxmax2​=21​Mu2 ⇒kxmax2​=Mu2 ⇒xmax​=ukM​​

Final Answer

Độ biến dạng cực đại của lò xo là:

xmax​=ukM​​​