Bài viết Cách xác định góc giữa hai đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xác định góc giữa hai đường thẳng.
Cách xác định góc giữa hai đường thẳng (cực hay)
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
A. Phương pháp giải
Để xác định góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có hai cách sau:
+ Cách 1: Gọi n→(x; y) và n’→( x’; y’) lần lượt là VTPT của hai đường thẳng d và d’. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:
Cosα = |cos( n→; n’→ ) | =
+ Cách 2: Gọi k1 và k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:
tgα =
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 3x + y – 2 = 0 và (b): 2x – y + 39 = 0.
A. 300 B. 600 C. 900 D. 450
Hướng dẫn giải
Đường thẳng: 3x + y – 2 = 0có VTPT n→( 3; 1).
Đường thẳng: 2x – y + 39 = 0 có VTPT n→( 2; -1)
cos(a; b) = |cos( na→; nb→ ) | =
⇒ ( a; b) = 450
Chọn D.
Ví dụ 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆1 : 10x + 5y – 1 = 0 và ∆2 :
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Vectơ pháp tuyến của ∆1; ∆2 lần lượt là n1→ = (2; 1); n2→ = (1; 1)
cos(∆1; ∆2) = |cos( n1→, n2→ ) | =
Chọn B.
Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0 .
A. 300 B. 600 C. 900 D. 450
Lời giải
Đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 có VTPT n1→(3; 1)
Đường thẳng: 4x – 2y + 10= 0 có VTPT n2→(4; -2)
cos(d1, d2) = |cos( n1→, n2→ ) | = ⇒ (d1, d2) = 450
Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 3y – 9 = 0 và d2:
A. B. C. D. tất cả sai
Lời giải
Vectơ pháp tuyến của d1; d2 lần lượt là n1→( 1; 3); n2→(1; -1).
Cos( d1; d2) = |cos( n1→, n2→ ) | =
Chọn C.
Ví dụ 5 : Tính góc giữa hai đường thẳng: (a): = 1 và (b):
A. 00 B. 450 C. 600 D. 900
Hướng dẫn giải
Đường thẳng (a) ⇔ 4x + 2y – 8 = 0 có VTPT n→( 4; 2)
Đường thẳng (b) có VTCP u→( 2; -4) nên VTPT n’→( 4; 2)
⇒ cos(a; b) = = 1
⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho là 00.
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho đường thẳng (a): x + y – 10 = 0 và đường thẳng (b): 2x + my + 99 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.
A. m = -1 B. m = 0 C. m = 1 D. m = 2
Lời giải
Đường thẳng (a) có VTPT n→( 1; 1)
Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 2 ;m)
Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 450 thì
Cos450 =
⇔ |2 + m| =
⇔ 4 + 4m + m2 = 4 + m2
⇔ 4m = 0 ⇔ m = 0
Chọn B
Ví dụ 7: Cho đường thẳng (a): y = 2x + 3 và (b): y = -x + 6. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).
Đường thẳng (a) có hệ số góc k1 = 2 và đường thẳng (b) có hệ số góc k2 = -1.
⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
Tgα = = 3
Chọn C.
Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng (d1): y = – 3x + 8 và (d2) : x + y – 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?
A. B. 1 C. 3 D.
Lời giải
Đường thẳng (d1) có hệ số góc k1 = – 3.
Đường thẳng (d2) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k2 = -1.
⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
tgα =
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho đường thẳng (a): và đường thẳng ( b): x + my – 4 = 0. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải
+ Đường thẳng (a) có VTCP u→( m, 1) nên có VTPT n→( 1; -m) .
+ Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 1; m).
+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600 thì:
Cos600 =
⇔ 1 + m2 = 2.|1 – m2| (*)
+ Nếu -1 < m < 1 thì 1 – m2 > 0. Từ (*) suy ra: 1 + m2 = 2 (1 – m2)
⇔ 1+ m2 = 2- 2m2 ⇔ 3m2 = 1
⇔ m2 = ⇔ m= ± ( thỏa mãn điều kiện) .
+ Nếu m ≥ 1 hoặc m ≤ -1 thì 1- m2 ≤ 0. Từ (*) suy ra:
1 + m2 = 2( m2 – 1) ⇔ 1 + m2 = 2m2 – 2
⇔ m2 = 3 ⇔ m = ±√3.
Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.
Chọn D.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: x + 2y – 7 = 0 và d2: 2x – 4y + 9 = 0.
A. – B. C. D.
Lời giải:
Đáp án: A
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là n1→ = (1; 2)
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là n2→ = (2; -4)
Gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng ta có:
cosφ = = –
Câu 2: Tìm góc giữa đường thẳng d: 6x – 5y + 15 = 0 và ∆2:
A. 900 B. 300 C. 450 D. 600
Lời giải:
Đáp án: A
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n1→ = (6; -5)
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆2 là n2→ = (5; 6)
Ta có n1→ . n2→ ⇒ d ⊥ ∆2.
Câu 3: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: và d2:
A. B. C. D. tất cả sai
Lời giải:
Đáp án: D
Vectơ chỉ phương của d1; d2 lần lượt là u1→(3; 4); u2→(1; 1).
Cos( d1; d2) = |cos(u1→; u2→) | =
Câu 4: Góc giữa hai đường thẳng: (a): = 1 và (b): gần với số đo nào nhất?
A. 630 B. 250 C. 600 D. 900
Lời giải:
Đáp án: A
Đường thẳng (a) ⇔ 4x – 3y + 12 = 0 có VTPT n→( 4; -3).
Đường thẳng (b) có VTCP u→( 6; -12) nên VTPT n’→( 2; 1)
⇒ cos(a; b) =
⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho xấp xỉ 630.
Câu 5: Cho đường thẳng (a): x – y – 210 = 0 và đường thẳng (b): x + my + 47 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.
A. m = -1 B. m = 0 C. m = 1 D. m = 2
Lời giải:
Đáp án: B
Đường thẳng (a) có VTPT n→( 1; -1)
Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 1; m)
Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 450 thì
Cos450 =
⇔ |1 – m| =
⇔ 1- 2m + m2 = 1 + m2
⇔ -2m = 0 ⇔ m = 0
Câu 6: Cho đường thẳng (a): y = -x + 30 và (b): y = 3x + 600. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
Đáp án: B
Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).
Đường thẳng (a) có hệ số góc k1 = -1 và đường thẳng (b) có hệ số góc k2 = 3.
⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
Tgα = = 2
Câu 7: Cho hai đường thẳng (d1): y = -2x + 80 và (d2) : x + y – 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2?
A. B. 1 C. 3 D.
Lời giải:
Đáp án: D
Đường thẳng (d1) có hệ số góc k1 = – 2.
Đường thẳng (d2) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k2 = -1.
⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
tgα =
Câu 8: Cho đường thẳng (a): và đường thẳng ( b): 2x + y – 40 = 0.Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
Đáp án: B
+ Đường thẳng (a) có VTCP u→( m; 2) nên có VTPT n→( 2; -m) .
+ Đường thẳng (b) có VTPT n’→( 2;1).
+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 450 thì:
Cos450 =
⇔ .√5 = √2|4 – m|
⇔ ( 4 + m2).5 = 2(16 – 8m + m2)
⇔ 20 + 5m2 = 32 – 16m + 2m2
⇔ 3m2 + 16m – 12 = 0 ⇔ m = hoặc m = – 6
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 5x + 2y – 3 = 0 và (b): 2x + y + 7 = 0.
Bài 2. Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d1: 10x + 5y – 1 = 0 và d2: {x = 2t + 3; y = 3 + t}.
Bài 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 5x + 2y – 7 = 0 và 3x – 5y + 6 = 0.
Bài 4. Cho đường thẳng (a): 3x + 2y – 10 = 0 và đường thẳng (b): 5x + my + 9 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45°?
Bài 5. Cho đường thẳng (a): y = 3x + 5 và (b): y = -2x + 4. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
- Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
- Vị trí tương đối của 2 điểm với đường thẳng: cùng phía, khác phía
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc
- Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
