Đường cao trong tam giác là một đường thẳng có tính chất quan trọng và liên quan rất nhiều đến các bài toán hình học phẳng. Vậy đường cao là gì, cách tính đường cao trong tam giác như thế nào. Cùng tham khảo bài viết dưới đây để có câu trả lời và biết công thức tính đường cao trong tam giác đơn giản nhất nhé.
Công thức tính đường cao trong tam giác
Tính đường cao trong tam giác thường
Cách tính đường cao trong tam giác sử dụng công thức Heron:
Với a, b, c là độ dài các cạnh; ha là đường cao được kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC; p là nửa chu vi:
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, cạnh AB = 4 cm, cạnh BC = 7 cm, cạnh AC = 5 cm. Tính đường cao AH kể từ A cắt BC tại H và tính diện tích ABC.
Giải:
Nửa chu vi tam giác: P = (AB + BC + AC) : 2 = (4 + 7 + 5) : 2 = 8(cm)
Chiều cao 
=> 
Xét tam giác ABC, ta có:
Như vậy, 
Tính đường cao trong tam giác đều
Giả sử tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a như hình vẽ:
Trong đó:
- h là đường cao của tam giác đều
- a là độ dài cạnh của tam giác đều
Công thức tính đường cao trong tam giác vuông
Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình vẽ trên:
Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:
1. a2 = b2 + c2
2. b2 = a.b′ và c2 = a.c′
3. a.h = b.c
4. h2 = b′.c’
5.
Trong đó:
- a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;
- b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền;
- c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;
- h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.
Giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
AC2 = CH.BC = 16.BC
Theo định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông gại A ta có:
AB2 + AC2 = BC2
⇔ 152 + 16.BC = BC2
⇔ BC2 – 16.BC – 225 = 0
⇔ BC2 – 25.BC + 9.BC – 225 = 0
⇔ BC(BC – 25) + 9(BC – 25) = 0
⇔ (BC – 25)(BC + 9) = 0
⇔ BC = 25 hoặc BC = -9 (loại)
⇒ AC2 = 16.BC = 16.25 = 400 ⇒ AC = 20 (cm)
Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)
=> AH = AB.AC/BC = 15.20/25 = 12(cm)
Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.
Giải:
Xét tam giác vuông ABC, ta có:
BC2 = AB2+ AC2 ( theo định lý py-ta-go)
BC2 = 242+ 322
BC2 = 1600
BC = 40(cm)
EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)
Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:
Có ∠A = ∠E = 90o
∠C chung
=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)
=> AC/EC = AB/ED
=> ED = AB.EC/AC = 15cm
Vậy ED = 15cm
Công thức tính đường cao trong tam giác cân
Giả sử các bạn có tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như hình trên:
Công thức tính đường cao AH:
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:
⇒ HB=HC= ½BC
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:
AH²+BH²=AB²
⇒AH²=AB²−BH²
Ví dụ: Cho Δ ABC cân tại A có BC = 30(cm), đường cao AH = 20(cm). Tính đường cao ứng với cạnh bên của tam giác cân đó.
Giải: Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30(cm)
⇒ BH = CH = 15(cm).
Áp dụng đinh lý Py – ta – go ta có:
Kẻ , giờ ta phải tính BK = ?
Ta có:
Mặt khác
Do đó, ta có ⇔
Định nghĩa đường cao trong tam giác
Đường cao trong tam giác là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao. Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.
Tính chất ba đường cao của một tam giác
Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
Các bạn chỉ cần tính các thành phần chưa biết trong các công thức tính đường cao trong tam giác ở trên là có thể tính được đường cao trong tam giác.
- Trọng tâm là gì? Công thức tính trọng tâm của tam giác
