Cho A và B là hai tập hợp. Giao của A và B là tập gồm những phần tử thuộc cả A và B, ngoài ra không có phần tử nào khác. Giao của A và B được viết là “A ∩ B“.[1] Nói một cách đơn giản, giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử mà cả A và B có điểm chung.
A ∩ B = { x | x ∈ A và x ∈ B } {displaystyle Acap B={x| xin A {text{và}} xin B}}
Biểu tượng giao nhau đôi khi được thay thế bằng từ “và” giữa hai tập hợp. Từ này gợi ý ký hiệu nhỏ gọn hơn cho giao lộ thường được sử dụng. Một cách để nhớ rằng biểu tượng ∩ này đề cập đến giao lộ là nhận thấy sự giống nhau của nó với chữ A viết hoa, viết tắt của từ “và” trong tiếng Anh.
Phép giao được ký hiệu bằng ” ∩ {displaystyle cap } “; Ví dụ chẳng hạn:
- { 1 , 2 , 3 } ∩ { 2 , 3 , 4 } = { 2 , 3 } {displaystyle {1,2,3}cap {2,3,4}={2,3}}
- { 1 , 2 , 3 } ∩ { 4 , 5 , 6 } = ∅ {displaystyle {1,2,3}cap {4,5,6}=varnothing }
- Z ∩ N = N {displaystyle mathbb {Z} cap mathbb {N} =mathbb {N} }
- { x ∈ R : x 2 = 1 } ∩ N = { 1 } {displaystyle {xin mathbb {R} :x^{2}=1}cap mathbb {N} ={1}}
Giao của nhiều hơn hai tập hợp (phép giao tổng quát) thường được viết là:
⋂ i = 1 n A i {displaystyle bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}
tương tự với ký hiệu sigma viết hoa.
Giao của hai tập hợp A {displaystyle A} và B , {displaystyle B,} , ký hiệu bởi A ∩ B , {displaystyle Acap B,} [2] là tập các đối tượng vừa thuộc tập hợp A {displaystyle A} và vừa thuộc tập hợp B . {displaystyle B.} Khi viết bằng ký hiệu: A ∩ B = { x : x ∈ A và x ∈ B } . {displaystyle Acap B={x:xin A{text{ và }}xin B}.}
Nghĩa là, x {displaystyle x} là phần tử của giao A ∩ B {displaystyle Acap B} khi và chỉ khi x {displaystyle x} vừa là phần tử của A {displaystyle A} và vừa là phần tử của B . {displaystyle B.} [2]
Thêm ví dụ:
- Giao của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {2, 3}.
- Số 9 không nằm trong phần giao của tập các số nguyên tố {2, 3, 5, 7, 11, …} và tập các số lẻ {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}, là bởi vì số 9 không phải là số nguyên tố.
Ta nói tập hợp A {displaystyle A} giao với tập hợp B {displaystyle B} nếu tồn tại phần tử x {displaystyle x} vừa thuộc A {displaystyle A} vừa thuộc B , {displaystyle B,} .
Ngược lại, ta nói tập hợp A {displaystyle A} và B {displaystyle B} không giao nhau hay rời nhau nếu A {displaystyle A} không giao với B . {displaystyle B.} Nghĩa là chúng không chung một phần tử nào cả. Tập hợp A {displaystyle A} và B {displaystyle B} không giao nhau nếu giao của chúng là tập rỗng, được ký hiệu là A ∩ B = ∅ . {displaystyle Acap B=varnothing .}
Ví dụ chẳng hạn, tập { 1 , 2 } {displaystyle {1,2}} và { 3 , 4 } {displaystyle {3,4}} không giao nhau, còn tập các số chẵn giao với tập của các số chia hết cho 3 tại các bội của 6.
Phép giao là phép toán có tính kết hợp; tức là, cho bất kỳ tập A , B , {displaystyle A,B,} và C , {displaystyle C,} ta có
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C . {displaystyle Acap (Bcap C)=(Acap B)cap C.} Do vậy, dấu ngoặc có thể bỏ đi mà không làm mất giá trị: cả hai cái trên đều có thể viết thành A ∩ B ∩ C {displaystyle Acap Bcap C} . Phép giao còn có tính giao hoán. Tức là cho bất kỳ tập A {displaystyle A} và B , {displaystyle B,} ta có A ∩ B = B ∩ A . {displaystyle Acap B=Bcap A.} Giao của bất kỳ tập hợp với tập rỗng sẽ ra tập rỗng; nghĩa là cho bất kỳ tập hợp A {displaystyle A} , A ∩ ∅ = ∅ {displaystyle Acap varnothing =varnothing } Ngoài ra, phép giao còn có tính lũy đẳng; tức là, cho bất kỳ tập A {displaystyle A} , A ∩ A = A {displaystyle Acap A=A} . Tất cả tính chất này đều tương tự với phép hội.
Phép giao phân phối trên phép hợp và ngược lại. Nghĩa là cho bất kỳ tập A , B , {displaystyle A,B,} và C , {displaystyle C,} ta có A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) {displaystyle {begin{aligned}Acap (Bcup C)=(Acap B)cup (Acap C)Acup (Bcap C)=(Acup B)cap (Acup C)end{aligned}}} Trong vũ trụ U , {displaystyle U,} ta định nghĩa phần bù A c {displaystyle A^{c}} của A {displaystyle A} là tập các phần tử thuộc U {displaystyle U} nhưng không thuộc A . {displaystyle A.} Sử dụng định nghĩa này, giao của A {displaystyle A} và B {displaystyle B} có thể viết lại thành bù của hợp của bù của mỗi phần tử, dễ dàng suy ra từ luật De Morgan: A ∩ B = ( A c ∪ B c ) c {displaystyle Acap B=left(A^{c}cup B^{c}right)^{c}}
Dạng tổng quát nhất là giao của một họ tập hợp . Nếu M {displaystyle M} là tập hợp khác rỗng trong đó các phần tử là các tập hợp, thì x {displaystyle x} là phần tử của giao của M {displaystyle M} khi và chỉ khi với mọi phần tử A {displaystyle A} thuộc M , {displaystyle M,} x {displaystyle x} là phần tử thuộc A . {displaystyle A.} Viết bằng ký hiệu: ( x ∈ ⋂ A ∈ M A ) ⇔ ( ∀ A ∈ M , x ∈ A ) . {displaystyle left(xin bigcap _{Ain M}Aright)Leftrightarrow left(forall Ain M, xin Aright).}
Ký hiệu này có nhiều các viết khác khác nhau. Các nhà lý thuyết tập hợp sẽ đôi khi viết ” ⋂ M {displaystyle bigcap M} “, trong khi một số sẽ viết ” ⋂ A ∈ M A {displaystyle {bigcap }_{Ain M}A} “. Ký hiệu sau có thể tổng quát hóa thành ” ⋂ i ∈ I A i {displaystyle {bigcap }_{iin I}A_{i}} “, tức là giao của họ { A i : i ∈ I } . {displaystyle left{A_{i}:iin Iright}.} Trong đó I {displaystyle I} là tập chỉ số khác rỗng và A i {displaystyle A_{i}} là tập hợp với mọi i ∈ I . {displaystyle iin I.}
Khi tập chỉ số I {displaystyle I} là tập các số tự nhiên, ký hiệu giao có thể viết lại thành: ⋂ i = 1 ∞ A i . {displaystyle bigcap _{i=1}^{infty }A_{i}.} giống với chuỗi.
Nếu khó khi định dạng, ta cũng có thể viết ” A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ ⋯ {displaystyle A_{1}cap A_{2}cap A_{3}cap cdots } “.
Trong phần trước, ta vẫn chưa xét trường hợp M {displaystyle M} là tập hợp rỗng ( ∅ {displaystyle varnothing } ). Lý do là bởi: Giao của họ M {displaystyle M} được định nghĩa là tập (xem ký pháp xây dựng tập hợp) ⋂ A ∈ M A = { x : với mọi A ∈ M , x ∈ A } . {displaystyle bigcap _{Ain M}A={x:{text{ với mọi }}Ain M,xin A}.} Nếu M {displaystyle M} rỗng, thì không có tập A {displaystyle A} nào thuộc M {displaystyle M} , nên câu hỏi trở thành “phần tử x {displaystyle x} nào sẽ thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa?”. Câu trả lời có vẻ như là mọi phần tử x {displaystyle x} . Khi M {displaystyle M} rỗng, điều kiện cho trên là một ví dụ của chân lý rỗng. Do đó, giao của họ rỗng phải là tập phổ dụng (phần tử đơn vị cho phép giao),[3] , song trong lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, tập phổ dụng không tồn tại.
Mặc dù vậy, nếu giới hạn về các tập con của một tập X {displaystyle X} cho trước, thì giao của họ rỗng các tập con của X {displaystyle X} được định nghĩa tốt. Trong trường hợp này, nếu M {displaystyle M} rỗng thì giao của nó sẽ là ⋂ M = ⋂ ∅ = { x ∈ X : x ∈ A với mọi A ∈ ∅ } {displaystyle bigcap M=bigcap varnothing ={xin X:xin A{text{ với mọi }}Ain varnothing }} . Bởi x ∈ X {displaystyle xin X} đều thỏa mãn điều kiện, nên giao của họ rỗng các tập con của X {displaystyle X} là toàn bộ của X . {displaystyle X.} Nói bằng công thức, ⋂ ∅ = X . {displaystyle bigcap varnothing =X.} Cách hiểu này khớp với ý nghĩ rằng khi họ các tập con càng ngày càng nhỏ đi thì giao tương ứng của chúng càng trở nên lớn hơn; và trong trường hợp đặc biệt, giao của họ rỗng sẽ là toàn bộ tập nền.
- Tập hợp
- Phép hợp – Phép toán tập hợp với kết quả là một tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc một trong các tập hợp trong phép toánPages displaying wikidata descriptions as a fallback
- Giao (Hình học Euclid)
- Đồ thị giao
- Lý thuyết giao
- Danh sách các định thức và quan hệ tập hợp
- Phép hội
- Lý thuyết tập hợp ngây thơ – one of several theories of sets used in the discussion of the foundations of mathematics; defined informally, in natural languagePages displaying wikidata descriptions as a fallback
- Hiệu đối xứng – Các phần tử chỉ thuộc duy nhất một trong hai tập hợp
- Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục
- Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), Nhà xuất bản giáo dục
- Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory . New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
- Munkres, James R. (2000). “Set Theory and Logic”. Topology . Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Rosen, Kenneth (2007). “Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums”. Discrete Mathematics and Its Applications . Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.
- Weisstein, Eric W., “Intersection” từ MathWorld.
