Nếu bạn coi số học như một công cụ, thì số phức là bước cuối cùng, hoàn hảo nhất.
Chúng ta bắt đầu với số đếm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, đây được gọi là các số tự nhiên. Bạn có thể cộng và nhân chúng với nhau.
Giờ giả sử bạn cũng muốn làm phép toán ngược của phép cộng: phép trừ. Để không gặp rắc rối khi tính toán 3 – 5 chẳng hạn, bạn cần thêm các số âm. Điều này thêm -1, -2, -3, v.v… Tổng hợp lại bạn có được tất cả các số nguyên.
Sau đó, bạn cũng muốn làm phép toán ngược của phép nhân. Nhưng đôi khi bạn có thể chia trong tập số nguyên: 6/2 = 3. Nếu bạn muốn luôn luôn có thể chia, bạn sẽ nhanh chóng nhận thấy rằng bạn không thể làm phép toán ngược của phép nhân với 0, vì bạn luôn “quên mình đến từ đâu” (mọi thứ đều trở thành số không). Nhưng cho phép chia cho tất cả các số khác sẽ cho bạn các phân số, còn được gọi là số hữu tỉ.
Giờ giả sử bạn muốn tìm nghiệm cho các phương trình đơn giản. Giả sử bạn có y = xx và bạn muốn tìm x sao cho y = 2. Bạn biết rằng 11 = 1 và 1.5*1.5 = 2.25 nên đáp án phải nằm ở đâu đó ở giữa? Hóa ra không có phân số nào bình phương lên bằng 2, vì vậy bạn cần “lấp đầy khoảng trống” bằng cách cho phép các số thập phân vô hạn. Điều này cho bạn các số thực.
Cuối cùng, vẫn còn một số phương trình mà bạn không thể giải. Ví dụ xx luôn dương, vì vậy xx = -1 không bao giờ có nghiệm. Để giải quyết điều này, bạn lại thêm một số. Vì một lý do lịch sử ngớ ngẩn nào đó, số này được gọi là số ảo và chúng ta dùng i để biểu thị nó. Điều này cho phép bạn làm việc với số phức dạng a + bi.
Hóa ra đây là bước cuối cùng! Nếu bạn có một hàm chỉnh hình (thuật ngữ toán học cao siêu, nhưng hầu hết các hàm bạn biết đều là chỉnh hình, đặc biệt là tất cả các đa thức) không phải là hằng số, thì f(x) = a luôn có nghiệm nếu bạn cho x là số phức!
Vấn đề duy nhất là bạn không thể vẽ những số này trên một đường thẳng nữa, vì bạn không thể sắp xếp thứ tự chúng (hãy nghĩ về điều đó, i có lớn hơn hay nhỏ hơn 1 không?) và mọi người không bao giờ gặp số phức trong cuộc sống hàng ngày của họ, vì vậy họ cảm thấy chúng ít “thực tế” hơn các số khác. Nhưng mặt khác, bạn cũng không bao giờ gặp các số thập phân vô hạn ngẫu nhiên trong cuộc sống hàng ngày của mình, vậy tại sao những số đó lại “thực tế” hơn?
