Phương trình đường thẳng

Vectơ u → ≠ 0 → {displaystyle {vec {u}}neq {vec {0}}} và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với k ≠ 0 {displaystyle kneq 0} , vectơ k u → {displaystyle k{vec {u}}} cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ n → ≠ 0 → {displaystyle {vec {n}}neq {vec {0}}} và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với k ≠ 0 {displaystyle kneq 0} , vectơ k n → {displaystyle k{vec {n}}} cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Trong mặt phẳng tọa độ O x y {displaystyle Oxy} , đường thẳng d {displaystyle d} có vectơ chỉ phương a → = ( a , b ) {displaystyle {vec {a}}=(a,b)} thì có vectơ pháp tuyến là n → = ( − b , a ) {displaystyle {vec {n}}=(-b,a)} hay n → = ( b , − a ) {displaystyle {vec {n}}=(b,-a)} . Ngược lại, đường thẳng d {displaystyle d} có vectơ pháp tuyến n → = ( a , b ) {displaystyle {vec {n}}=(a,b)} thì có vectơ chỉ phương là a → = ( − b , a ) {displaystyle {vec {a}}=(-b,a)} hay a → = ( b , − a ) {displaystyle {vec {a}}=(b,-a)}

Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z {displaystyle Oxyz} , đường thẳng d {displaystyle d} có vectơ n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) {displaystyle {vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})} và vectơ n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) {displaystyle {vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})} là 2 vectơ pháp tuyến không cùng phương thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa n 1 → {displaystyle {vec {n_{1}}}} với n 2 → {displaystyle {vec {n_{2}}}} hoặc giữa n 2 → {displaystyle {vec {n_{2}}}} với n 1 → {displaystyle {vec {n_{1}}}} .

Trong mặt phẳng tọa độ O x y {displaystyle Oxy} , cho đường thẳng d {displaystyle d} đi qua điểm M ( x 0 , y 0 ) {displaystyle M(x_{0},y_{0})} và nhận u → = ( u 1 , u 2 ) {displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2})} làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d {displaystyle d} là { x = x 0 + u 1 t y = y 0 + u 2 t {displaystyle {begin{cases}x=x_{0}+u_{1}ty=y_{0}+u_{2}tend{cases}}} với t {displaystyle t} được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R {displaystyle tin R} ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Nếu u 1 ≠ 0 {displaystyle u_{1}neq 0} và u 2 ≠ 0 {displaystyle u_{2}neq 0} , từ phương trình tham số ta khử tham số t {displaystyle t} , ta được phương trình chính tắc x − x 0 u 1 = y − y 0 u 2 {displaystyle {x-x_{0} over u_{1}}={y-y_{0} over u_{2}}} .

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc.

Phương trình a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} với a 2 + b 2 ≠ 0 {displaystyle a^{2}+b^{2}neq 0} được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó n → = ( a , b ) {displaystyle {vec {n}}=(a,b)} là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Đường thẳng b y + c = 0 {displaystyle by+c=0} ( a = 0 ) {displaystyle (a=0)} vuông góc với trục O y {displaystyle Oy} tại điểm A ( 0 ; − c b ) {displaystyle A(0;-{c over b})} .

Đường thẳng a x + c = 0 {displaystyle ax+c=0} ( b = 0 ) {displaystyle (b=0)} vuông góc với trục O x {displaystyle Ox} tại điểm B ( − c a ; 0 ) {displaystyle B(-{c over a};0)} .

Đường thẳng a x + b y = 0 {displaystyle ax+by=0} ( c = 0 ) {displaystyle (c=0)} đi qua gốc tọa độ O ( 0 ; 0 ) {displaystyle O(0;0)} .

Đường thẳng đi qua 2 điểm A ( x 0 ; 0 ) {displaystyle A(x_{0};0)} ( x 0 ≠ 0 {displaystyle x_{0}neq 0} ) và B ( 0 ; y 0 ) {displaystyle B(0;y_{0})} ( y 0 ≠ 0 {displaystyle y_{0}neq 0} ) thì có thể được viết dưới dạng phương trình x x 0 + y y 0 = 1 {displaystyle {x over x_{0}}+{y over y_{0}}=1} .

Cho đường thẳng d {displaystyle d} cắt trục O x {displaystyle Ox} tại M {displaystyle M} và tia M t {displaystyle Mt} là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục O x {displaystyle Ox} mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia M t {displaystyle Mt} hợp với tia M x {displaystyle Mx} một góc α {displaystyle alpha } . Đặt k = tan ⁡ α {displaystyle k=tan alpha } , khi đó k {displaystyle k} được gọi là hệ số góc của đường thẳng d {displaystyle d} .

Đường thẳng có vecto chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 ) {displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2})} thì có hệ số góc k = u 2 u 1 {displaystyle k={u_{2} over u_{1}}} .

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n → = ( a , b ) {displaystyle {vec {n}}=(a,b)} thì có hệ số góc k = − a b {displaystyle k=-{a over b}} .

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là − 1 {displaystyle -1} .

Cho 2 đường thẳng: ( D ) {displaystyle (D)} A x + B y + C = 0 {displaystyle Ax+By+C=0} và ( d ) {displaystyle (d)} a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} .

( D ) {displaystyle (D)} cắt ( d ) {displaystyle (d)} ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } A a ≠ B b {displaystyle {A over a}neq {B over b}} khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình { A x + B y + C = 0 a x + b y + c = 0 {displaystyle {begin{cases}Ax+By+C=0ax+by+c=0end{cases}}}

( D ) {displaystyle (D)} / / {displaystyle //} ( d ) {displaystyle (d)} ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } A a = B b ≠ C c {displaystyle {A over a}={B over b}neq {C over c}}

( D ) {displaystyle (D)} ≡ {displaystyle equiv } ( d ) {displaystyle (d)} ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } A : B : C = a : b : c {displaystyle A:B:C=a:b:c}

Cho đường thẳng ( D ) {displaystyle (D)} và ( d ) {displaystyle (d)} cắt nhau tại điểm M {displaystyle M} . Gọi n 1 → = ( A 1 , B 1 ) {displaystyle {vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})} là vectơ pháp tuyến của ( D ) {displaystyle (D)} và n 2 → = ( A 2 , B 2 ) {displaystyle {vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})} là vectơ pháp tuyến của ( d ) {displaystyle (d)} . Gọi α {displaystyle alpha } là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó:

cos ⁡ α = | n 1 → . n 2 → | | n 1 → | | n 2 → | = | A 1 A 2 + B 1 B 2 | ( A 1 2 + B 1 2 ) ( A 2 2 + B 2 2 ) {displaystyle cos alpha ={leftvert {vec {n_{1}}}.{vec {n_{2}}}rightvert over leftvert {vec {n_{1}}}rightvert leftvert {vec {n_{2}}}rightvert }={leftvert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}rightvert over {sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}}

2 đường thẳng vuông góc thì α = 90 ∘ {displaystyle alpha =90^{circ }} .

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì α = 0 ∘ {displaystyle alpha =0^{circ }} .

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương.

Cho đường thẳng ( d ) {displaystyle (d)} a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} và M ( x 0 , y 0 ) ∉ ( d ) {displaystyle M(x_{0},y_{0})not in (d)} , khoảng cách từ điểm M {displaystyle M} đến ( d ) {displaystyle (d)} được tính theo công thức d ( M , d ) = | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 {displaystyle d(M,d)={frac {leftvert ax_{0}+by_{0}+crightvert }{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}

Cho đường thẳng ( d ) {displaystyle (d)} a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} và 2 điểm M ( x M , y M ) {displaystyle M(x_{M},y_{M})} , N ( x N , y N ) {displaystyle N(x_{N},y_{N})} không nằm trên ( d ) {displaystyle (d)} . Xét các biểu thức m = a x M + b y M + c {displaystyle m=ax_{M}+by_{M}+c} và n = a x N + b y N + c {displaystyle n=ax_{N}+by_{N}+c} , khi đó M {displaystyle M} và N {displaystyle N} nằm cùng phía với ( d ) {displaystyle (d)} khi m {displaystyle m} và n {displaystyle n} cùng dấu, khác phía khi m {displaystyle m} và n {displaystyle n} trái dấu.

Trong không gian với hệ trục tọa độ O x y z {displaystyle Oxyz} , cho đường thẳng d {displaystyle d} đi qua điểm M ( x 0 , y 0 , z 0 ) {displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})} và nhận u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d {displaystyle d} là { x = x 0 + u 1 t y = y 0 + u 2 t z = z 0 + u 3 t {displaystyle {begin{cases}x=x_{0}+u_{1}ty=y_{0}+u_{2}tz=z_{0}+u_{3}tend{cases}}} với t {displaystyle t} được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R {displaystyle tin R} ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Nếu cả u 1 {displaystyle u_{1}} , u 2 {displaystyle u_{2}} , u 3 {displaystyle u_{3}} đều khác 0 {displaystyle 0} , từ phương trình tham số ta khử tham số t {displaystyle t} , ta được phương trình chính tắc: x − x 0 u 1 = y − y 0 u 2 = z − z 0 u 3 {displaystyle {x-x_{0} over u_{1}}={y-y_{0} over u_{2}}={z-z_{0} over u_{3}}}

Cho đường thẳng ( d ) {displaystyle (d)} có vectơ chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} và ( d ′ ) {displaystyle (d’)} có vectơ chỉ phương u ′ → = ( u 1 ′ , u 2 ′ , u 3 ′ ) {displaystyle {vec {u’}}=(u’_{1},u’_{2},u’_{3})} . Gọi M ( x , y , z ) {displaystyle M(x,y,z)} là một điểm nằm trên ( d ) {displaystyle (d)} và M ′ ( x ′ , y ′ , z ′ ) {displaystyle M'(x’,y’,z’)} là một điểm nằm trên ( d ′ ) {displaystyle (d’)} . Ta có:

( d ) ≡ ( d ′ ) {displaystyle (d)equiv (d’)} ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } [ u → , u ′ → ] = [ u → , M M ′ → ] = 0 → {displaystyle [{vec {u}},{vec {u’}}]=[{vec {u}},{vec {MM’}}]={vec {0}}}

( d ) / / ( d ′ ) {displaystyle (d)//(d’)} ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } [ u → , u ′ → ] = 0 → {displaystyle [{vec {u}},{vec {u’}}]={vec {0}}} và [ u → , M M ′ → ] ≠ 0 → {displaystyle [{vec {u}},{vec {MM’}}]neq {vec {0}}}

( d ) {displaystyle (d)} cắt ( d ′ ) {displaystyle (d’)} ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } { [ u → ; u ′ → ] ≠ 0 → M M ′ → . [ u → ; u ′ → ] = 0 {displaystyle {begin{cases}[{vec {u}};{vec {u’}}]neq {vec {0}}{vec {MM’}}.[{vec {u}};{vec {u’}}]=0end{cases}}}

( d ) {displaystyle (d)} và ( d ′ ) {displaystyle (d’)} chéo nhau ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } M M ′ → . [ u → ; u ′ → ] ≠ 0 {displaystyle {vec {MM’}}.[{vec {u}};{vec {u’}}]neq 0}

Cho đường thẳng ( d ) {displaystyle (d)} đi qua điểm M 0 {displaystyle M_{0}} và có vectơ chỉ phương u → {displaystyle {vec {u}}} . Khoảng cách từ điểm M {displaystyle M} đến ( d ) {displaystyle (d)} là d [ M , ( d ) ] = | [ M 0 M → , u → ] | | u → | {displaystyle d[M,(d)]={leftvert [{vec {M_{0}M}},{vec {u}}]rightvert over leftvert {vec {u}}rightvert }}

Cho 2 đường thẳng chéo nhau ( d ) {displaystyle (d)} và ( d ′ ) {displaystyle (d’)} . Đường thẳng ( d ) {displaystyle (d)} có vectơ chỉ phương u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {displaystyle {vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})} và đường thẳng ( d ′ ) {displaystyle (d’)} có vectơ chỉ phương u ′ → = ( u 1 ′ , u 2 ′ , u 3 ′ ) {displaystyle {vec {u’}}=(u’_{1},u’_{2},u’_{3})} . Gọi M ( x , y , z ) {displaystyle M(x,y,z)} là một điểm nằm trên ( d ) {displaystyle (d)} và M ′ ( x ′ , y ′ , z ′ ) {displaystyle M'(x’,y’,z’)} là một điểm nằm trên ( d ′ ) {displaystyle (d’)} . Khi đó khoảng cách giữa ( d ) {displaystyle (d)} và ( d ′ ) {displaystyle (d’)} là

d [ ( d ) , ( d ′ ) ] = | [ u → , u ′ → ] . M M ′ → | | [ u → , u ′ → ] | {displaystyle d[(d),(d’)]={leftvert [{vec {u}},{vec {u’}}].{vec {MM’}}rightvert over leftvert [{vec {u}},{vec {u’}}]rightvert }}

Đường thẳng

1. Nhà xuất bản giáo dục – Bộ giáo dục và đào tạo – Sách giáo khoa Hình học 10
2. Nhà xuất bản giáo dục – Bộ giáo dục và đào tạo – Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
3. Nhà xuất bản giáo dục – Bộ giáo dục và đào tạo – Sách giáo khoa Hình học 12
4. Nhà xuất bản giáo dục – Bộ giáo dục và đào tạo – Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao