Trong thực tế cuộc sống ta đã gặp rất nhiều hình ảnh hay sự vật có hình tam giác đều. Việc tính diện tích tam giác đều giúp ích cho ta rất nhiều trong các lĩnh vực khoa học cũng như trong một số công việc kĩ thuật hay xây dựng. Để tính toán được diện tích tam giác đều cạnh a một cách dễ dàng hơn, bài viết sau đây sẽ nêu và chứng minh cho các em về công thức tính diện tích tam giác đều. Hãy theo dõi nhé!
1. Công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a
Muốn tính diện tích tam giác đều cạnh a, ta có thể sử dụng một trong hai công thức sau đây:
1.1. Cách tính diện tích tam giác đều bằng công thức thứ nhất
Tương tự như việc tính diện tích một tam giác thường, công thức tính diện tích tam giác đều được phát biểu như sau: “Diện tích tam giác đều bằng nửa tích độ dài của một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó” hay S = a . h;
Trong đó: a là độ dài một cạnh của tam giác đều và h là chiều cao tương ứng với cạnh đó.
Cho tam giác đều MNP, gọi ME là đường cao kẻ từ đỉnh M của tam giác đều MNP. Khi đó công thức tính diện tích tam giác đều MNP là: S = PN . ME.
1.2. Cách tính diện tích tam giác đều bằng công thức thứ hai
Ngoài công thức trên, ta còn có công thức tính diện tích tam giác đều như sau: S = a2;
Trong đó: a là độ dài một cạnh của tam giác đều.
Cho tam giác đều MNP có MN = NP = PM = a. Khi đó công thức tính diện tích tam giác đều MNP là: S = a2.
Chứng minh công thức:
Gọi ME là đường cao kẻ từ đỉnh M của tam giác đều MNP.
Vì MNP là tam giác đều nên đường cao ME chính là đường trung tuyến của tam giác đều MNP.
Suy ra E là trung điểm của đoạn thẳng NP hay NE = EP = NP = a.
Xét tam giác MPE vuông tại E có:
ME2 + EP2 = PM2 (theo định lý Pi – ta – go).
Suy ra ME2 = PM2 – EP2 = hay ME = a.
Áp dụng công thức 1 ta có:
S = PN . ME = a . a = a2.
» Xem thêm: Tổng hợp công thức tính diện tích tam giác đầy đủ, chi tiết
2. Các dạng toán liên quan đến diện tích tam giác đều
2.1. Dạng 1: Tính diện tích tam giác đều
*Phương pháp giải:
Muốn tính diện tích tam giác đều, ta có thể sử dụng một trong hai công thức trên để tính toán.
Ví dụ 1. Cho tam giác đều MNP có MN = NP = PM = 2 cm. Hãy tính diện tích tam giác đều MNP.
Lời giải
Ta có diện tích tam giác đều MNP là: S = . 22 = (cm2).
Vậy diện tích tam giác đều MNP là cm2.
2.2. Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng khi biết diện tích của tam giác đều
*Phương pháp giải:
Dựa vào một trong hai công thức trên, ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng nào đó theo yêu cầu đề bài khi biết diện tích của tam giác đều.
Ví dụ 2. Cho tam giác đều MNP. Gọi ME là đường cao kẻ từ đỉnh M của tam giác đều MNP. Biết diện tích của tam giác đều MNP là cm2. Hãy tính độ dài đường cao ME.
Lời giải
Giả sử tam giác đều MNP có MN = NP = PM = a (a > 0).
Khi đó diện tích tam giác đều MNP là: S = a2.
Theo giả thiết, diện tích của tam giác đều MNP là cm2, do đó S = hay a2 = .
Suy ra a2 = 16 hay a = 4 (cm).
Vì MNP là tam giác đều nên đường cao ME chính là đường trung tuyến của tam giác đều MNP.
Suy ra E là trung điểm của đoạn thẳng NP hay NE = EP = NP = a = . 4 = 2 (cm).
Xét tam giác MPE vuông tại E có:
ME2 + EP2 = PM2 (theo định lý Pi – ta – go).
Suy ra ME2 = PM2 – EP2 = 42 – 22 = 12 hay ME = (cm).
Vậy độ dài đường cao ME là cm.
Nhận xét: Ta có thể áp dụng công thức tính nhanh độ dài đường cao h của một tam giác đều trong các bài tập trắc nghiệm, đó là: h = a; trong đó: a là độ dài một cạnh của tam giác đều.
3. Bài tập áp dụng diện tích tam giác đều
Bài 1. Trong các công thức dưới đây. Đâu là công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a?
- a2
- a
- a2
- a
ĐÁP ÁN
Công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a là S = a2.
Ta chọn đáp án A.
Bài 2. Trong các tam giác đều dưới đây, hãy chọn đáp án mà tam giác đều đó có diện tích bằng cm2.
- Tam giác đều HQK có độ dài một cạnh bằng 8 cm.
- Tam giác đều BCD có độ dài đường cao bằng 3 cm.
- Tam giác đều EFG có độ dài đường cao bằng cm.
- Tam giác đều HQK có độ dài một cạnh bằng 4 cm.
ĐÁP ÁN
+ Ta có diện tích của tam giác đều HQK là: S = (cm2).
Ta loại đáp án A.
+ Tam giác đều BCD có độ dài đường cao bằng 3 cm, suy ra 3 = a hay a = (cm).
Suy ra diện tích của tam giác đều BCD là: S = (cm2).
Ta loại đáp án B.
+ Tam giác đều EFG có độ dài đường cao bằng cm, suy ra = a hay a = 6 (cm).
Suy ra diện tích của tam giác đều EFG là: S = (cm2).
Ta chọn đáp án C.
Bài 3. Cho hai bảng dưới đây: Bảng 1 chỉ độ dài một cạnh của tam giác đều nào đó và Bảng 2 chỉ độ dài đường cao của tam giác đều nào đó. Hãy nối các câu ở Bảng 1 với các câu ở Bảng 2 sao cho diện tích của hai tam giác đều đó bằng nhau.
Bảng 1
Bảng 2
1) Độ dài một cạnh của tam giác đều bằng 14 cm.
A) Độ dài đường cao của tam giác đều bằng cm.
2) Độ dài một cạnh của tam giác đều bằng 8 cm.
B) Độ dài đường cao của tam giác đều bằng cm.
3) Độ dài một cạnh của tam giác đều bằng 10 cm.
C) Độ dài đường cao của tam giác đều bằng cm.
ĐÁP ÁN
Hai tam giác đều có diện tích bằng nhau khi hai tam giác đều đó có cùng độ dài một cạnh.
Áp dụng công thức tính độ dài đường cao h = a , ta sẽ tính độ dài một cạnh của các tam giác đều có trong Bảng 2:
A) Độ dài đường cao của tam giác đều bằng cm, suy ra hay a = 8 cm.
Vậy ta nối 2 với A.
B) Độ dài đường cao của tam giác đều bằng cm, suy ra hay a = 10 cm.
Vậy ta nối 3 với B.
C) Độ dài đường cao của tam giác đều bằng cm, suy ra hay a = 14 cm.
Vậy ta nối 1 với C.
Bài viết trên đã cung cấp cho các em một số công thức tính diện tích tam giác đều. Hy vọng các em áp dụng thành thạo các công thức trên vào làm các bài toán cơ bản cũng như nâng cao liên quan đến dạng toán này.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
