1) Hàm đa thức bậc ba (f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d) ((a ne 0)):
Bước 1: Tìm đạo hàm cấp hai f’’(x).
Bước 2: Giải phương trình f’’(x) = 0. Giả sử nghiệm là ({x_0}).
Bước 3: Kết luận tâm đối xứng có toạ độ (left( {{x_0};f({x_0})} right)).
Ví dụ minh hoạ:
a) Hàm số (y = {x^3} + 3{x^2} – 9x + 1) có (y” = 6x + 6 = 0 Leftrightarrow x = {rm{;}} – 1).
Thay x = -1 vào phương trình, được (y = {( – 1)^3} + 3{( – 1)^2} – 9( – 1) + 1 = 12).
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (-1;12).
b) Hàm số (y = {x^3} – 3x + 1) có (y” = 6x = 0 Leftrightarrow x = 0).
Thay x = 0 vào phương trình, được (y = {0^3} – 3.0 + 1 = 1).
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (0;1).
2) Hàm phân thức bậc nhất (f(x) = frac{{ax + b}}{{cx + d}}) ((c ne 0)):
Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Đồ thị có tiệm cận đứng (x = {x_0}) và tiệm cận ngang (y = {y_0}) thì tâm đối xứng có toạ độ (left( {{x_0};{y_0}} right)).
Ví dụ minh hoạ:
a) Đồ thị hàm số (y = frac{{2x + 1}}{{x – 3}}) có tiệm cận đứng là x = 3, tiệm cận ngang là y = 2.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (3;2).
b) Đồ thị hàm số (y = frac{{4x + 1}}{{x – 2}}) có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 4.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (2;4).
3) Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất (f(x) = frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}) ((a,m ne 0)):
Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.
Đồ thị có tiệm cận đứng (x = {x_0}) và tiệm cận xiên (y = px + q) thì tâm đối xứng có toạ độ (left( {{x_0};p{x_0} + q} right)).
Ví dụ minh hoạ:
a) Đồ thị hàm số (y = frac{{{x^2} – 2x + 3}}{{x + 1}}) có tiệm cận đứng là x = -1, tiệm cận xiên là y = x – 3.
Thay x = -1 vào y = x – 3, được y = -1 – 3 = -4.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (-1;-4).
b) Đồ thị hàm số (y = frac{{3{x^2} – 2x + 4}}{{x – 2}}) có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = 3x + 4.
Thay x = 2 vào y = 3x + 4, được y = 3.2 + 4 = 10.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị là điểm (2;10).
