Bài viết Cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng.
Cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng (cực hay)
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
A. Phương pháp giải
Cho điểm A và đường thẳng (d): ax + by + c = 0 . Tìm điểm M đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d):
+ Bước 1: Lập phương trình đường thẳng AM:
⇒ Phương trình (AM) .
+ Bước 2: Gọi H là hình chiếu của A trên d. Khi đó AM và d giao nhau tại H nên tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:
+ Bước 3: Do M đối xứng với A qua d nên H là trung điểm của AM.
Áp dụng công thức trung điểm đoạn thẳng ta được:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0 và M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d là:
A. ( -4; 8 ) B. (-4; -8 ) C. ( 4; 8) D. (4; -8)
Lời giải
+Phương trình đường thẳng MM’:
⇒ ( MM’) : 3( x – 8) + 2( y – 2) = 0 hay 3x + 2y – 28 = 0
+ Gọi H là hình chiếu của M lên d. Khi đó MM’ và d cắt nhau tại H nên tọa độ H là nghiệm hệ : ⇒ H(6; 5)
+ Khi đó H là trung điểm của đoạn MM’. Áp dụng công thức trung điểm ta suy ra
. Vậy M’( 4; 8) .
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho điểm M(1; 2) và đường thẳng d: 2x + y – 5 = 0. Toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua d là:
A. ( ; ) B. (- ; ) C. (0; ) D. ( ; – 5)
Lời giải
Ta thấy M ∉ d .
Gọi H( a; b) là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d MH→( a – 1; b – 2) .
Ta có đường thẳng d: 2x + y – 5 = 0 nên có vtpt: n→(2;1)
Suy ra u→( -1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Do đó H( ; ) .
Gọi M’( x; y) đối xứng với M qua đường thẳng d . Khi đó ta có: H là trung điểm của MM’
Ta có:
Vậy tọa độ điểm đối xứng với M qua d là M'( ; ) .
Chọn A.
Ví dụ 3 : Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0 và M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d là
A. ( -4; 8) B. ( -4; -8) C. ( 4; 8) D. ( 4; -8)
Lời giải
+ Do M’ đối xứng với M qua d nên MM’ vuông góc với d.
+ Đường thẳng MM’:
⇒ MM’: 3( x – 8) + 2( y – 2) = 0 hay 3x + 2y – 28 = 0
+ Gọi H là giao điểm của MM’ và d. Khi đó tọa độ H là nghiệm hệ :
⇒ H( 6; 5)
+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’. Tọa độ điểm M’ là:
⇒ M’( 4; 8)
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho điểm A( 1; 2) và đường thẳng (d): x + 2y – 3 = 0 .Tìm điểm đối xứng với A qua đường thẳng d.
A. ( 1; -2) B. ( ; ) C. ( ; ) D. Đáp án khác
Lời giải
+ Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) .
+ Lập phương trình đường thẳng AH:
( AH) :
⇒ Phương trình ( AH) : 2( x – 1) – 1.( y – 2) = 0 hay 2x – y = 0
+ Hai đường thẳng AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
+ Gọi B đối xứng với A qua d. Khi đó; H là trung điểm của AB.
⇒ Tọa độ điểm B là: ⇒ B( ; )
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho điểm A( 2; 0) và đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.
A. ( 2; -1) B. (2; 0) C. ( 1; -2) D. (-2; -1)
Lời giải
Ta có: 2 + 0 – 2 = 0 nên điểm A thuộc đường thẳng d.
⇒ Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d chính là điểm A.
Chọn B.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB và J( -4; 2) là trung điểm của AC. Gọi điểm A’ đối xứng điểm A qua BC. Viết phương trình đường thẳng AA’?
A. 6x + 2y – 3 = 0 B. 6x + 2y + 4 =0 C. 2x – y + 1 = 0 D. Tất cả sai
Lời giải
+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .
+ Do A’ đối xứng với A qua BC
⇒ AA’ vuông góc BC (2).
Từ(1) và ( 2) suy ra: AA’ vuông góc IJ
+ Lập phương trình AA’:
⇒ ( AA’): 6(x – 0) + 2( y + 2) = 0 hay 6x + 2y + 4 = 0.
Chọn B.
Ví dụ 7: Cho đường thẳng ∆ : và điểm M(1; 2). Tìm điểm đối xứng với M qua đường thẳng ∆ là:
A. (4; -2) B. M’(- ; ) C. M’( ; ) D. M’( ; )
Lời giải
Gọi M’ đối xứng với M qua ∆.
+ Đường thẳng MM’:
⇒ Phương trình đường thẳng MM’:
3(x – 1) – 2(y – 2)= 0 hay 3x – 2y + 1 = 0.
+ Giao điểm H của đường thẳng MM’ và ∆ là nghiệm hệ:
+ Điểm M đối xứng M’ qua ∆ nên H là trung điểm MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:
⇒ M’(- ; )
Chọn B.
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có AB = 6; BC = 6√2 và góc B = 450.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua BC. Tìm mệnh đề sai?
A. Tứ giác ACA’B là hình thoi
B. AA’ = 3
C. BA’ = 6
D. Tứ giác ACA’B là hình bình hành
Lời giải
+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B
= 62 + (6√2)2 – 2.6.6√2.cos450 = 36
⇒ AC = 6 nên AB = AC = 6 và AB2 + AC2 = BC2
⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.
+ Gọi H là chân đường cao hạ từ điểm A lên BC.
AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến
⇒ H là trung điểm của BC: AH = BH = CH = BC/2 = 3√2 ⇒ AA’= 6√2
+ Do A’ đối xứng với điểm A qua BC nên H là trung điểm của AA’ và AA’; BC vuông góc với nhau.
Tứ giác ACA’B có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
⇒ ACA’B là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo AA’; BC vuông góc với nhau nên ACA’B là hình thoi.
⇒ B sai
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A( 3;-4) qua đường thẳng d:
A. ( 4; -2) B. (5; 0) C. ( -1; 2) D. ( -1; -3)
Lời giải:
Đáp án: B
+ Trước tiên ta tìm hình chiếu của A lên d.
Gọi điểm H(2 + 2t; -1 – t) thuộc d là hình chiếu của A.
Ta có AH→( 2t – 1; 3 – t).
Vectơ chỉ phương của d là u→( 2; -1)
+Do H là hình chiếu của A trên d nên AH vuông góc với d
⇔ u→ . AH→ = 0 ⇔ 2( 2t – 1) – 1( 3 – t) = 0
⇔ 4t- 2- 3+ t= 0 ⇔ t= 1
⇒ H( 4; -2)
Vậy hình chiếu của A trên d là H( 4; -2).
+ Do A’ đối xứng với A qua d nên H là trung điểm của AA’.
⇒ Tọa độ điểm A’ là:
Câu 2: Cho đường thẳng ∆: . Hoành độ điểm M’ đối xứng với M( 4; 5) qua ∆ gần nhất với số nào sau đây ?
A. 1,12 B. – 0, 91 C. 1,31 D. – 0,92
Lời giải:
Đáp án: D
+ Ta tìm hình chiếu của M trên ∆.
Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H ∈ ∆ nên H( 2 – 3t; 1 + 2t) và MH→( -2 – 3t; -4 + 2t)
Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; – 2) .
MH→ ⊥ u→ ⇔ MH→ . u→ = 0 ⇔ 3(-2 – 3t) – 2(-4 + 2t) = 0 ⇔ -13t + 2 = 0 ⇔ t = ⇒
+ Ta tìm điểm M’ đối xứng với M qua ∆.
Ta có H là hình chiếu của M trên ∆ trên M là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’ là:
⇒ Hoành độ điểm M’ xấp xỉ – 0,92
Câu 3: Tìm điểm M’ đối xứng với M(4; 1) qua đường thẳng d: x – 2y + 4 = 0 là:
A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; )
Lời giải:
Đáp án: C
Đường thẳng d có 1 VTPT n→( 1; -2).
+ Ta tìm hình chiếu của M trên d.
Gọi H( 2t – 4; t) là hình chiếu của M( 4; 1) trên đường thẳng d.
Suy ra MH vuông góc d nên hai vecto MH→(2t – 8; t- 1) và n→(1; -2) cùng phương.
Do đó:
+ Điểm M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’ là: ⇒ M’( ; )
Câu 4: Cho tam giác ABC có A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB và J( -1; 0) là trung điểm của AC. Tìm điểm K đối xứng với điểm A qua IJ?
A. K( ; – ) B. K( ; ) C. K( – ; – ) D. K( ; )
Lời giải:
Đáp án: A
+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .
+Gọi H là hình chiếu của A lên IJ
⇒ AH vuông góc IJ .
+ Lập phương trình AH:
⇒ ( AH): – 3( x – 1) – 1( y – 3) = 0 hay 3x + y – 6 = 0.
+ Phương trình IJ:
⇒ Phương trình IJ: 1( x – 2) – 3( y – 1) = 0 hay x – 3y + 1 = 0.
+ Giao điểm của IJ và AH là H. Tọa độ điểm H là nghiệm hệ :
+ Gọi điểm K đối xứng với A qua IJ. Khi đó; H là trung điểm của AK
⇒ Tọa độ điểm K: ⇒ K( ; – )
Câu 5: Cho điểm M(- 2; 1) và đường thẳng ∆: 2x – y + 4 = 0.Gọi điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng ∆. Khi đó điểm M’ nằm trên đường thẳng nào?
A. x + 2y – 3 = 0 B. 2x + 4y – 3 = 0 C. x + 2y = 0 D. x + 2y – 6 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
+ Đường thẳng ∆ có 1 VTPT n→( 2; -1)
Gọi H( t; 2t + 4) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH→( t + 2; 2t + 3)
⇒ Hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau nên hai vecto MH→ và n→( 2; -1) cùng phương. Suy ra: ⇔ – t – 2 = 4t + 6 ⇔ t = –
⇒ Tọa độ điểm H( – ; ) .
+ Do điểm M’ đối xứng với M qua ∆ nên H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’: ⇒ M’(- ; )
⇒ điểm M’thuộc đường thẳng: x + 2y = 0
Câu 6: Cho đường thẳng ∆: và điểm M(2; -3); điểm A(-0,6; -1,8). Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua đường thẳng ∆. Tính độ dài AM’
A. 3 B. 4 C. 5 D. √17
Lời giải:
Đáp án: C
+ Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.
Ta có: H thuộc ∆ nên H( -3 + t ; – 2t) ⇒ MH→( t- 5 ; 3 – 2t)
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u→( 1; -2) .
Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau
⇒ MH→ . u→ = 0 ⇔ 1(t – 5) – 2( 3 – 2t) = 0
⇔ t – 5 – 6 + 4t = 0 ⇔ 5t = 11 ⇔ t = 2,2
⇒ H (- 0,8; – 4,4) .
+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ nên H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:
⇒ M’( -3,6; -5,8).
Độ dài đoạn AM’ là:
= 5
Câu 7: Tìm điểm đối xứng với điểm A( 1; 2) qua đường thẳng d: = 1
A. H( 1; 2) B. H( ; ) C. H( – ; ) D. H( ; )
Lời giải:
Đáp án: D
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng d: 2x – 6y + 12 = 0 hay x – 3y + 6 = 0
+ Lấy điểm H(3t – 6; t) thuộc d -là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có AH→( 3t – 7; t – 2)
Vectơ pháp tuyến của d là n→( 1; -3) .
+Do H là hình chiếu của A trên d nên hai vecto AH→ và n→ cùng phương :
⇔ ⇔ – 3( 3t – 7) = 1( t – 2)
⇔ – 9t + 21 = t – 2 ⇔ t =
+ Với t = ta có H( ; )
+ Gọi điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d. Suy ra H là trung điểm của AA’.
⇒ Tọa độ điểm A’: ⇒ M’( ; )
Câu 8: Cho tam giác ABC có AB = 1; BC = 1√2 và góc B = 450.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua BC. Tìm mệnh đề sai?
A. Tứ giác ACA’B là vuông
B. AA’ = 2
C. BA’ = 1
D. Tứ giác ACA’B là hình bình hành
Lời giải:
Đáp án: B
+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:
AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B
= 12 + (1√2)2 – 2.1.1√2.cos450 = 1
⇒ AC = 1 nên AB = AC = 1 và AB2 + AC2 = BC2
⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.
+ Gọi H là chân đường cao hạ từ điểm A lên BC.
⇒ AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến
⇒ H là trung điểm của BC: AH = BH = CH =
⇒ AA’= √2
+ Do A’ đối xứng với điểm A qua BC nên H là trung điểm của AA’ và AA’; BC vuông góc với nhau.
Tứ giác ACA’B có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
⇒ ACA’B là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo AA’; BC vuông góc với nhau nên ACA’B là hình thoi.
Tam giác ABC vuông cân nên = 900
⇒ Tứ giác ACA’B là hình vuông.
⇒ B sai
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho đường thẳng d: 2x + 3y + 5 = 0 và M(2; 6) . Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d.
Bài 2. Cho điểm M(3; 4) và đường thẳng d: 3x + 2y – 5 = 0. Tìm toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua d.
Bài 3. Cho đường thẳng d: 3x – 5y + 6 = 0 và M(2; 6) Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d.
Bài 4. Cho đường thẳng d: {x = 1 + 2t; y = 3 – 2t} và điểm M(3; 5). Tìm điểm đối xứng với M qua đường thẳng d.
Bài 5. Tìm điểm B đối xứng với điểm A(3; -4) qua đường thẳng d: {x = 5 – 4t; y = t + 2}.
(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
- Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
- Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm
- Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:
- Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
