Giải phương trình là một dạng toán phổ biến trong chương trình Toán học. Trong chương trình Toán lớp 8, chúng ta sẽ tìm hiểu về một số phương trình cơ bản và cách giải phương trình lớp 8 đó. Bài viết dưới đây VOH Giáo Dục tổng hợp lý thuyết giải phương trình, các dạng toán thường gặp ở dạng này và phương pháp giải chi tiết của từng dạng, cùng với một số bài tập ví dụ giúp các em nắm vững được dạng toán giải phương trình.
1. Nhắc lại khái niệm phương trình
Phương trình một ẩn x gồm hai biểu thức của cùng một biến A(x) và B(x) có dạng A(x) = B(x).
Trong đó: A(x) được gọi là vế trái, B(x) được gọi là vế phải.
Ví dụ 1.
5x + 2 = 12 là phương trình với ẩn x. Trong đó: 5x +2 là vế trái, 12 là vế phải.
12u(u+3) = 0 là phương trình với ẩn u. Trong đó: 12u(u+3) là vế trái, 0 là vế phải.
2. Cách giải phương trình lớp 8
– Giải phương trình là chúng ta tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình và tập nghiệm của một phương trình thường được kí hiệu bởi S.
– Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,… vô số nghiệm và cũng có thể không có nghiệm nào. Khi phương trình không có nghiệm nào ta nói phương trình đó vô nghiệm.
– Hai phương trình được gọi là tương đương với nhau khi hai phương trình có cùng tập nghiệm. Để biểu thị mối quan hệ tương đương của hai phương trình, ta dùng kí hiệu “⇔”.
Ví dụ 2.
Phương trình x + 25 = 0 có một nghiệm là x = -25. Khi đó ta viết tập nghiệm của phương trình là S = {-25}.
Phương trình có hai nghiệm là x = 6 và x = -6. Khi đó ta viết tập nghiệm của phương trình là S = {-6; 6}.
Phương trình x2 = -25 vô nghiệm vì x2 ≥ 0 với mọi giá trị x. Khi đó ta viết tập nghiệm của phương trình là S = ∅.
Phương trình 0x = 0 có vô số nghiệm. Khi đó ta viết tập nghiệm của phương trình là S = R.
Ví dụ 3. Phương trình x – 2 = 0 có tập nghiệm là S = {2} và phương trình x = 2 cũng có tập nghiệm là S = {2} nên hai phương trình đó tương đương với nhau.
Vì hai phương trình trên tương đương nên ta viết: x – 2 ⇔ x = 2.
3. Các dạng toán giải phương trình lớp 8
3.1. Dạng 1: Kiểm tra hai phương trình đã cho có tương đương không?
Để kiểm tra xem hai phương trình đã cho có tương đương không thì ta tìm tập nghiệm của hai phương trình: Nếu hai phương trình có cùng tập nghiệm thì kết luận hai phương trình đã cho tương đương. Ngược lại, nếu hai phương trình khác tập nghiệm thì kết luận hai phương trình đã cho không tương đương.
Ví dụ 4.Hai phương trình 2x = 0 và 4x(x – 2) =0 có tương đương với nhau không? Giải thích?
Giải.
Ta có phương trình 2x = 0 ⇔ x = 0 nên phương trình có tập nghiệm là S1 = {0}.
Phương trình 4x(x – 2) =0
⇔ 4x = 0 hoặc x – 2 = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 2
Vì thế phương trình có tập nghiệm S2 = {0; 2}.
Vì hai phương trình không có cùng tập nghiệm nên hai phương trình đã cho không tương đương.
3.2. Dạng 2: Kiểm tra giá trị x = a có là nghiệm của phương trình đã cho không?
Để kiểm tra một giá trị x = a có là nghiệm của phương trình đã cho không, ta sẽ thay x = a vào phương trình:
Nếu vế trái (VT) và vế phải (VP) của phương trình nhận cùng một giá trị thì kết luận x = a là nghiệm của phương trình.
Ngược lại, nếu hai vế của phương trình nhận hai giá trị khác nhau thì kết luận x = a không là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 5.Kiểm tra giá trị u = 5 có là nghiệm của phương trình 20(u – 2) = 6u(u – 3) không?
Giải.
Thay u = 5 vào phương trình ta có:
VT = 20(5 – 2) = 20.3 = 60
VP = 6.5(5 – 3)= 30.2 = 60
Vì VT = VP nên u = 5 là một nghiệm của phương trình 20(u – 2) = 6u(u – 3).
3.3. Dạng 3: Chứng minh phương trình vô nghiệm
∗ Phương pháp giải:
Để chứng minh phương trình vô nghiệm, ta sẽ chứng minh không có giá trị x nào thỏa mãn phương trình. Một số lưu ý thường sử dụng để chứng minh trong dạng này:
Với mọi số thực x và biểu thức A, ta có: A2 ≥ 0; |A| ≥ 0; 0x = a, (a 0).
Ví dụ 6. Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm:
a) |2x + 3| = -2
b) 4x – 5 = 2(2x +3)
Giải.
a) |2x + 3| = -2
Vì |2x + 3| ≥ 0 với mọi giá trị x nên không có giá trị x nào để |2x + 3| = -2 .
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
b) 4x – 5 = 2(2x +3)
⇔ 4x – 5 = 4x + 6
⇔ 4x – 4x = 6 +5
⇔ 0x = 11 (Vô lý)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
4. Một số bài tập giải phương trình lớp 8
Câu 1. Trong các phương trình dưới đây x = -2 là nghiệm của phương trình nào?
a) 3x + 2 = -4
b) x2 + x – 2 = 3.
c) 4(5x – 2) = 20x – 8
ĐÁP ÁN
a) 3x + 2 = -4
Thay x = -2 vào phương trình, ta có:
VT = 3.(-2) + 2 = -4
VP = -4
Vì VT = VP nên x = -2 là nghiệm của phương trình 3x + 2 = -4.
b) x2 + x – 2 = 3
Thay x = -2 vào phương trình, ta có:
VT = (-2)2 + (-2) -2 = 0 ≠ 3
Vậy x = -2 không là nghiệm của phương trình x2 + x – 2 = 3.
c) 4(5x – 2) = 20x – 8
Thay x = -2 vào phương trình, ta có:
VT = 4[5.(-2) -2] =-48
VP = 20(-2)-8= -48
Vì VT = VP nên x = -2 là nghiệm của phương trình 4(5x – 2) = 20x – 8.
Câu 2. Hai phương trình 4u + 5 = 0 và 16u + 5 = -15 có tương đương không? Giải thích?
ĐÁP ÁN
Ta có 4u + 5 = 0 ⇔ 4u = -5 ⇔ u= nên phương trình có tập nghiệm .
16u + 5 = -15 ⇔16u = -20 ⇔ u= nên phương trình có tập nghiệm
Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm nên hai phương trình đã cho tương đương.
Câu 3. Cho hai phương trình
(1) 4x – 2 = 6
(2) (x – 2)(3x-9)=0
Chứng minh rằng x = 2 là nghiệm chung của cả hai phương trình.
ĐÁP ÁN
Thay x = 2 vào phương trình (1) ta có: 4. 2 – 2 = 6 nên x = 2 là nghiệm của phương trình (1).
Thay x = 2 vào phương trình (2) ta có: (2-2)(3.2-9)= 0. (-3) = 0 nên x = 2 là nghiệm của phương trình (2).
Vậy x = 2 là nghiệm chung của cả hai phương trình đã cho.
Câu 4. Cho phương trình sau: (4a – 2)x2 = 2a – 3 với a là tham số.
Chứng minh rằng với a = 1 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
ĐÁP ÁN
Với a = 1 ta có phương trình đã cho có dạng:
(4.1 – 2)x2 = 2.1 – 3
⇔ 2×2 = -1
⇔ x2 =
Vì x2 ≥ 0 với mọi giá trị x nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Mong rằng qua bài viết này các em sẽ hiểu hơn về cách giải phương trình lớp 8 từ đó áp dụng vào giải các bài toán tìm nghiệm của phương trình, chứng minh phương trình vô nghiệm… Chúc các em học tốt!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
