Giới hạn dạng vô định 0/0 là một trong những dạng toán cốt lõi của chương trình Giải tích 11. Đây là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra và đề thi, đòi hỏi học sinh phải nắm vững cách biến đổi, khử vô định và áp dụng đúng phương pháp. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết các kỹ thuật tính giới hạn dạng 0/0 như nhân liên hợp, chia bậc cao nhất, tách biểu thức hay vận dụng hằng đẳng thức. Đồng thời, bài viết cung cấp hệ thống bài tập giới hạn Toán 11 có đáp án giúp bạn luyện tập hiệu quả.
A. Cách tính giới hạn dạng không trên không
Dạng 1: (L = lim_{x rightarrow x_{0}}frac{P(x)}{Q(x)}) với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Chú ý:
+ Nếu tam thức bậc hai (ax^{2} + bx + c) có hai nghiệm (x_{1};x_{2}) thì ta luôn có sự phân tích(ax^{2} + bx + c = aleft( x – x_{1} right)left( x – x_{2} right)).
(a^{n} – b^{n} = (a – b)left( a^{n – 1} + a^{n – 2}b + … + ab^{n – 2} + b^{n – 1} right))
Dạng 2: (L = lim_{x rightarrow x_{0}}frac{P(x)}{Q(x)}) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Liên hợp
(left( sqrt{a} – sqrt{b} right)left( sqrt{a} + sqrt{b} right) = a – b)
(left( sqrt[3]{a} pm sqrt[3]{b} right)left( sqrt[3]{a^{2}} mp sqrt[3]{ab} + sqrt[3]{b^{2}} right) = a – b)
(left( sqrt[n]{a} – sqrt[n]{b} right)left( sqrt[n]{a^{n – 1}} + sqrt[n]{a^{n – 2}b} + … + sqrt[m]{b^{n – 1}} right) = a – b)
Dạng 3. (L = lim_{x rightarrow x_{0}}frac{P(x)}{Q(x)}) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biểu thức chứa căn không đồng bậc
Giả sử: (P(x) = sqrt[m]{u(x)} – sqrt[n]{v(x)}) với (sqrt[m]{uleft( x_{0} right)} = sqrt[n]{vleft( x_{0} right)} = a)
Ta phân tích P(x) = (P(x) = left( sqrt[m]{u(x)} – a right) + left( a – sqrt[n]{v(x)} right)).
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: (sqrt[m]{u(x)} – sqrt[n]{v(x)} = left( sqrt[m]{u(x)} – m(x) right) – left( sqrt[n]{v(x)} – m(x) right)), trong đó (m(x) rightarrow c).
B. Ví dụ minh họa tính giới hạn dạng 0/0
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Ta có:
(lim_{x rightarrow – 1}frac{x^{2} + 2x + 1}{2x^{3} + 2} = lim_{x rightarrow – 1}frac{(x + 1)^{2}}{2(x + 1)left( x^{2} – x + 1 right)} = lim_{x rightarrow – 1}frac{x + 1}{2left( x^{2} – x + 1 right)} = 0)
Cách 2: Bấm máy tính như sau: (frac{x^{2} + 2x + 1}{2x^{3} + 2} + CACL + x = – 1 + 10^{- 9}) và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: (left. limfrac{x^{2} + 2x + 1}{2x^{3} + 2} right|_{x rightarrow – 1 + 10^{- 9}}) và so đáp án.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: (A = lim_{x rightarrow 1}frac{x^{3} – 3x^{2} + 2}{x^{2} – 4x + 3} = lim_{x rightarrow 1}frac{(x – 1)left( x^{2} – 2x – 2 right)}{(x – 1)(x – 3)})
(= lim_{x rightarrow 1}frac{x^{2} – 2x – 2}{x – 3} = frac{3}{2}).
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: (B = lim_{x rightarrow 2}frac{x^{4} – 5x^{2} + 4}{x^{3} – 8} = lim_{x rightarrow 2}frac{left( x^{2} – 1 right)left( x^{2} – 4 right)}{(x – 2)left( x^{2} + 2x + 4 right)})
(= lim_{x rightarrow 2}frac{left( x^{2} – 1 right)(x – 2)(x + 2)}{(x – 2)left( x^{2} + 2x + 4 right)} = lim_{x rightarrow 2}frac{left( x^{2} – 1 right)(x + 2)}{x^{2} + 2x + 4} = 1).
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
(C = lim_{x rightarrow 0}frac{(1 + 3x)^{3} – (1 – 4x)^{4}}{x})
(= lim_{x rightarrow 0}frac{(1 + 3x)^{3} – 1}{x} – lim_{x rightarrow 0}frac{(1 – 4x)^{4} – 1}{x})
(= lim_{x rightarrow 0}frac{3xleftlbrack (1 + 3x)^{2} + (1 + 3x) + 1 rightrbrack}{x} – lim_{x rightarrow 0}frac{- 4x(2 – 4x)leftlbrack (1 – 4x)^{2} + 1 rightrbrack}{x})
(= lim_{x rightarrow 0}3leftlbrack (1 + 3x)^{2} + (1 + 3x) + 1 rightrbrack + lim_{x rightarrow 0}leftlbrack 4(2 – 4x)leftlbrack (1 – 4x)^{2} + 1 rightrbrack rightrbrack = 25)
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Nhân liên hợp
Ta có:
(B = lim_{x rightarrow 0}frac{left( sqrt[n]{1 + ax} – 1 right)left( sqrt[n]{(1 + ax)^{n – 1}} + sqrt[n]{(1 + ax)^{n – 2}} + … + sqrt[n]{1 + ax} + 1 right)}{xleft( sqrt[n]{(1 + ax)^{n – 1}} + sqrt[n]{(1 + ax)^{n – 2}} + … + sqrt[n]{1 + ax} + 1 right)})
(B = lim_{x rightarrow 0}frac{a}{sqrt[n]{(1 + ax)^{n – 1}} + sqrt[n]{(1 + ax)^{n – 2}} + … + sqrt[n]{1 + ax} + 1} = frac{a}{n})
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Đặt (sqrt[n]{1 + ax} = t Rightarrow x = frac{t^{n} – 1}{a}) và (x rightarrow 0 Leftrightarrow t rightarrow 1)
(Rightarrow B = alim_{t rightarrow 1}frac{t – 1}{t^{n} – 1} = alim_{t rightarrow 1}frac{t – 1}{(x – 1)left( t^{n – 1} + t^{n} + … + t + 1 right)} = frac{a}{n}).
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Áp dụng bài toán trên ta có:
(A = lim_{x rightarrow 0}frac{sqrt[n]{1 + ax} – 1}{x}.lim_{x rightarrow 0}frac{x}{sqrt[m]{1 + bx} – 1} = frac{a}{n}.frac{m}{b} = frac{am}{bn}).
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: (E = lim_{x rightarrow 7}frac{sqrt[3]{4x – 1} – sqrt{x + 2}}{sqrt[4]{2x + 2} – 2} = lim_{x rightarrow 7}frac{sqrt[3]{4x – 1} – 3}{sqrt[4]{2x + 2} – 2} – lim_{x rightarrow 7}frac{sqrt{x + 2} – 3}{sqrt[4]{2x + 2} – 2} = A – B)
(A = lim_{x rightarrow 7}frac{sqrt[3]{4x – 1} – 3}{sqrt[4]{2x + 2} – 2} = lim_{x rightarrow 7}frac{2left( sqrt[4]{2x + 2} + 2 right)left( sqrt[4]{(2x + 2)^{2}}4 right)}{left( sqrt[3]{(4x – 1)^{2}} + 3sqrt[3]{4x – 1} + 9 right)} = frac{64}{27})
(B = lim_{x rightarrow 7}frac{sqrt{x + 2} – 3}{sqrt[4]{2x + 2} – 2} = lim_{x rightarrow 7}frac{left( sqrt[4]{2x + 2} + 2 right)left( sqrt[4]{(2x + 2)^{2}} + 4 right)}{2left( sqrt{x + 2} – 3 right)} = frac{8}{3})
(E = A – B = frac{64}{27} – frac{8}{3} = – frac{8}{27})
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài 1. Cho hàm số (f(x) = frac{x – 3}{sqrt{x^{2} – 9}}). Giá trị đúng của (lim_{x rightarrow 3^{+}}f(x)) là:
A. (- infty) B. (0) C. (sqrt{6}) D. (+ infty)
Bài 2. Tìm giới hạn (D = lim_{x rightarrow 0}frac{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) – 1}{x}) ?
A. (+ infty) B. (- infty) C. (- frac{1}{6}) D. (6)
Bài 3. Tìm giới hạn (A = lim_{x rightarrow 0}frac{x^{n} – 1}{x^{m} – 1};left( m,n in mathbb{N}^{*} right))?
A. (+ infty) B. (- infty) C. (frac{n}{m}) D. (m – n)
Bài 4. Tìm giới hạn (A = lim_{x rightarrow 2}frac{2x^{2} – 5x + 2}{x^{2} – 3x – 2}) ?
A. (+ infty) B. (- infty) C. (frac{1}{3}) D. (1)
Bài 5. Tìm giới hạn (B = lim_{x rightarrow 1}frac{x^{4} – 3x + 2}{x^{3} + 2x – 3})?
A. (+ infty) B. (- infty) C. (frac{1}{5}) D. (1)
Bài 6. Tìm giới hạn (C = lim_{x rightarrow 3}frac{sqrt{2x + 3} – x}{x^{2} – 4x + 3}) ?
A. (+ infty) B. (- infty) C. (- frac{1}{3}) D. (1)
Bài 7. Tìm giới hạn (D = lim_{x rightarrow 0}frac{sqrt[3]{x + 1} – 1}{sqrt[3]{2x + 1} – 1}) ?
A. (+ infty) B. (- infty) C. (frac{2}{3}) D. (1)
Bài 8. Tìm giới hạn (F = lim_{x rightarrow 0}frac{sqrt{(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1)} – 1}{x})?
A. (+ infty) B. (- infty) C. (frac{9}{2}) D. (1)
Bài 9. Tìm giới hạn (M = lim_{x rightarrow 0}frac{sqrt{1 + 4x} – sqrt[3]{1 + 6x}}{x^{2}})?
A. (+ infty) B. (- infty) C. (frac{1}{3}) D. (0)
Bài 10. Tìm giới hạn (N = lim_{x rightarrow 0}frac{sqrt[m]{1 + ax} – sqrt[n]{1 + bx}}{x})?
A. (+ infty) B. (- infty) C. (frac{a}{m} – frac{b}{n}) D. (frac{a}{m} + frac{b}{n})
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
–
Sau khi tham khảo bài viết, bạn đã nắm được những phương pháp quan trọng để xử lý giới hạn dạng vô định 0/0 một cách nhanh và chính xác. Việc luyện tập thường xuyên với các dạng bài đa dạng sẽ giúp bạn tự tin hơn khi gặp những bài toán giới hạn khó trong chương trình Toán 11. Đừng quên theo dõi thêm các bài viết tiếp theo để bổ sung kiến thức và cải thiện kỹ năng giải tích của mình.
